|
||||||||||||||||
|
Заголовок: Догма и аксиома Прислано пользователем Ципор на 05/14/04 в 16:18:04 Вопросы: 1) чем догма отличается от аксиомы? Имхо, тем, что аксиома конвенциональна либо личностна, и на абсолютную, не зависящую ни от чего, верность не претендует. 2) Очередная попытка "обвинить" адогматиков в догматизме :) : Дуглас:"в рациональном подходе собираются факты (путем наблюдения), определения и аксиомы, а затем из них делаются выводы логическим путем. Да? В случае этики без определений и аксиом не обойтись, потому что надо определить, что мы считаем плохим и что хорошим. Отсюда и догмы. Правда, в данном случае они будут иметь очень сложный вид "вот это хорошо, если не противоречит вот такой аксиоме, если согласуется вот с такой и т.д." Дугласу отвечено, что догмой, по определению, называется нечто, что является безусловной истиной, чего в р-р этике не наблюдается. Еще / me думает, что рациональная этика опирается на соображения пользы, желания и приоритеты (частные и общественные). Все вышеперечисленное назвать догмой нельзя, поскольку они не претендуют быть абсолютно правильными. Я права? |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/20/04 в 17:20:54 Имхо, аксиома хоть и недоказуема (а в рамках формальной системы без недоказуемых утверждений не обойтись), но _опирается_ на нечто. На "геометрическую интуицию", например. Догма на эмпирический опыт (по крайней мере, всех индивидуумов) не опирается, догма "имеет право" быть недоказуемой ничем и ничему не соотвовать, кроме самой себя. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Antrekot на 10/20/04 в 17:36:07 Есть еще одно существенное различие. Если вдруг окажется, что некая аксиома полностью или частично неверна (нету газу теплороду! (с)), ничего особенного не произойдет. А вот догма неприкосновенна. С уважением, Антрекот |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Anchan на 10/20/04 в 17:41:33 И догма и аксиома - недоказуемые утверждения. Догма - аксиома, которая настолько сама собой разумеется, что и говорить об этом нечего. Более того, не только для тебя, но и для соседа Васи. Аксиома же - недоказуемое утверждение, которое оговаривается перед началом рассуждений. При этом подчеркивается, что рассуждения правомерны только в рамках данной аксиоматики. Например, в рамках эвклидовой геометрии через точку на плоскости можно провести не более одной линии, не пересекающей данную прямую. Это утверждение, хотя и базируется на здравом смысле, на самом деле недоказуемо. Лобачевский построил альтернативную геометрию, взяв за аксиому утверждение, что таких линий больше одной. Господа математики, если что наврала - поправляйте. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/20/04 в 18:04:42 Ан-чан, там еще веселее было. Все пытались "сомнительную" Пятую Аксиому вывести из остальных, а он предложил доказать от противного, привести к противоречию предположеением что она не верна. А, ко всеобщему уживлению, система оказалась живучей:) Я вообще-то в Деканате уже писал об аксиомах: http://kor.mk.ru/~dekanat/Matematika/Vlad_aks1.htm |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/20/04 в 18:07:27 У Лобачевского они тоже не пересекаются, начал он плясать от другого. Но в общем, согласен, аксиома формулируется для чего-то, фактически - для дедуктивного рассуждения. Если имеющимся фактам рассуждение противоречит, аксиома пересмаривается. Догма формулируется как "вещь в себе", самоценно, и неопровержима в принципе - не для того она. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Anchan на 10/20/04 в 18:42:24 Ну вот. Пока пыталась отправить более внятно прописанную реплику, уже два ответа запостили. Ребята, спасибо. ушла в деканат |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/20/04 в 18:57:04 on 10/20/04 в 17:41:33, Anchan wrote:
Я понимаю, что я зануда, но эти два утверждения противоречат друг другу. :) Первое верно, а во втором поправка - частный случай римановой геометрии (в евклидовой кривизна =0, в г.Лобачевского < 0). |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Anchan на 10/20/04 в 20:24:31 Ой. Уже поправила. ;D |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Раз уж пошла такая пьянка... Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/21/04 в 01:08:45 on 10/20/04 в 18:04:42, Vladimir wrote:
Я натолкнулся там на любопытное утверждение: "Посмотрим на примере пресловутой неевклидовой геометрии. У нас есть набор аксиом и постулатов, разработанных Евклидом (в рамках излагаемого мной течения разница между этими терминами несущественна). Они отличаются от аксиом натуральных чисел - но (поверьте на слово, доказательство займет примерно полугодовой курс часов на 100 лекций) сводятся к ним." На самом деле, между евклидовой геометрией и арифметикой существует критическое различие. Евклидова геометрия (в общепринятой интерпретации) сводится таки, спасибо Гильберту, к формальной системе аксиом с правилами доказательства. А вот арифметика, как показал Гёдель - нет. Не существует формальной системы правил, позволяющей доказать все истинные теоремы арифметики. И если бы евклидова геометрия сводилась к аксиомам арифметики, то она тоже была бы неполна, по той же теореме Гёделя. Это к вопросу о догмах. ;) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 14:06:17 Quote:
Ну почему же. Т.е., повторюсь, что "картина мира" у каждого своя, но это не значит что она неверна:) Геометрия вполне сводится (ну, например, через систему координат и подробности письмом) к вещественным числам, а путь до натуральных оттуда, можно сказать, столбовой. С другой стороны, при большом желании можно и вещественные числа вывести как одномерную геометрию (хотя о таком извращении я на самом деле и не слышал за ненадобностью). Так что или мы допускаем непротиворечивость системы аксиом Пеано и оттуда последовательно вытягиваем непротиворечивость евклидовой геометрии (и, заодно, неевклидовой ;) ) со всеми ее теоремами, или начинаем плясать от непротиворечивости евклидовой геометрии и добегаем до аксиом Пеано. Что совой об пень, что пнем об сову ;D Что же касается формальной системы правил вывода теорем, то, прошу, прощения, насколько я понимаю имеет место лингвистическая путаница. В перовй фразе Quote:
Слова "правила доказательства" означают, в широком смысле, аристотелеву логику, т.е. у нас имеется список "законных приемов", которые обеспечат результат (доказательство искомой теоремы), а во второй фразе Quote:
слова "формальная система правил" означает, что невозможно написать инструкцию по порядку применения этих самых правил, чтобы добиться заранее заданного результата. Т.е., что проапгрейдженная машина Тьюринга спасует, нужны живые мозги. Ну так эти две вещи друг другу и не противоречат, это как первые два закона термодинамики:) : первый говорит, что сделать что-то возможно (доказать теоремы/перевести теплоту в работу), второй - что на пути принципиальное ограничение (сделать это "на автомате" невозможно/без потерь перевод возможен лишь при абсолюдном нуле). |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Eltekke на 10/21/04 в 15:21:08 "Догма - аксиома, которая настолько сама собой разумеется, что и говорить об этом нечего". Едва ли это так. Есть, конечно, догмы, которые представляют собой абсолютизированные самоочевидности - то есть результат перевода 99 или 99, 9 в периоде в круглую сотню - но большинство из них совсем не таковы. Что самоочевидного, "настолько само собой разумеющегося", в том, что Мухаммеду коран продиктовал лично Аллах, а не, например, косящий под Аллаха демон?!! А ведь боговдухновенность Корана - догма для мусульман. Еще одна разница, частично отмеченная Антрекотом, между догмой и аксиомой - что аксиомы не составляют идентифицирующей части мировоззрения и понимаются как в принципе подлежащие возможной замене и пересмотру (это следствие того, о чем писала Ципор - исходной конвенциональности, условности аксиомы в глазах того же, кто ее выдвигает - контрари ту безусловности догмы) - никто не претерпит мировоззренческого краха /смены мировоззрения от отказы от аксиомы насчет параллельных или абсолютности пространства. А вот отказ от догмы, даже самой абстрактной (филиокве и пр.) такой смене равносилен. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 15:25:19 on 10/21/04 в 15:21:08, Eltekke wrote:
Элтэкке, при всем моем уважении попрошу математику так грубо руками не лапать!:) Это мою-то, нежно любимую, лемму о двух милиционерах догмой обзывать?! :o |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/21/04 в 15:29:32 Сводить геометрию к арифметике через координаты - значит нагружать ее совершенно лишними проблемами. Еще раз повторю мое рассуждение: как известно из теоремы Гёделя, любая формальная система, содержащая в себе аксиомы арифметики как составную часть будет неполна. В то же время, евклидова геометрия (тут опять-таки надо сделать оговорку, что в своей общепринятой интерпретации, т.к. ничто не мешает называть "евклидовой геометрией" что-то более навороченное, допустим, включать в ее состав задачу у возможности замощения плоскости геометрическими фигурами из некоторого набора, тогда от аксиом арифметики и проблемы алгоритмической неразрешимости и вправду никуда не деться), так вот, евклидова геометрия - полна, то есть, существует алгоритмический метод определения того, является данная теорема истинной или ложной. Заметьте, я говорил не о непротиворечивости, а о неполноте, а это совершенно разные вещи. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/21/04 в 15:34:54 Quote:
В известном смысле, наше мнение о том, что "натуральные числа существуют" также является догмой. Поскольку если мы отменим эту аксиому (у нас ведь догма - частный случай аксиомы, с дополнительным свойством мировоззренияобразующести), то пойдет крахом всё наше мировоззрение. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Eltekke на 10/21/04 в 16:34:32 Не соглашусь. Где ж это оно пойдет крахом? Ведь и мнения такого, что "натуральные числа существуют", вовсе нет: наоборот, практически все понимают, что числа не существуют, а являются умственными концептами, передающими связь вещей. И если по каким-то причинам кто-то призовет использовать концепт, по которому дважды два - разом четыре и шестнадцать, то это могут принять или отвергнуть, но никто не забьется в вопле о крахе мировоззренияы. Для примера, в математике считается, что протяженность непрерывных множеств точек существует, хотя сама точка протяженности не имеет - то есть что бесконечная сумма нулей может быть равна чему угодно, причем всему одновременно (отрезки могут быть любой величины, а отрезок есть непарерывное множество точек, каждая из которых имеет нулевую величину) - и ничего, никто не переживает:). |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 16:48:38 on 10/21/04 в 15:29:32, V.A.Gonsky wrote:
Нууу ;) О вкусах не спорят. По мне, так существование геометрии вообще ничем, кроме как тем что она - неплохая разминка для мозгов не оправданно, т.к. неометрия - не более чем узкая область математики, сводящаяся к определенным свойствам пространства R 2 ;D Quote:
Секунду. Теорема Геделя, вообще-то, немного не о том, а о том что если система вывода утверждений содержит несколько специфических правил, то в рамках этой системы существуют истинные недоказуемые утверждения. Вы это имеете в виду как "неполноту"? Quote:
Если вам более приятно, я готов обозвать это свойствамми определенных групп движений. Или, куда уж классичнее, задача удвоения куба - настолько классика жанра, что деваться некуда, древние греки ее и сформулировали:) ИМНО нет такого понятия "евклидова геометрия без наворотов", есть другое - "геометрия в рамках средней школы" ;) Quote:
Простите, но теорема Геделя гласит не об алгоритмической неразрешимости, а о принципиальной недоказуемости, не только в рамках пресловутой машины Тьюринга. Это вообще-то две совсем разные проблемы. Quote:
Тогда, суммируя, три вопроса: 1. Что такое "евклидова геометрия без наворотов"? Относятся ли к ней, навскидку, задачи удвоения куба или рационализации (а лучше - алгебраичности через наличие инструмента удвоения любого N-мерного квадрата) числа пи; свойства движений (здравствуй, теория групп) или, прости господи, свойства кривых Пуанкаре? ;) ;D Кстати, допускаете ли вы доказательства от противного? 2. Что такое "неполнота"? Наличие истинных недоказуемых утверждений? 3. "Алгоритмический вывод" - это машина Тьюринга для доказательства теорем или принципиальная (не)возможность доказать все истинные утверждения? |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/21/04 в 16:53:21 on 10/21/04 в 16:34:32, Eltekke wrote:
Потому, что все наши естественные науки построены на математике, которая построена на натуральных числах. Не очень понятно, что понимать в этом смысле под словом "существуют". Связь вещей существует? Существует. Количество - одна из объективных характеристик этих связей. Вообще, сложный вопрос. Но речь не о том. Мы принимаем понятие натуральных чисел интуитивно - потому, что нам так удобно. На основе этих аксиом строится наука, дающая прекрасные результаты. Но и религиозная догма, скажем, о боговдохновенности Корана, тоже дает прекрасные результаты - для тех, кто в нее верит. А без веры (или чего-то еще, интуиции) не обойтись, натуральные числа формализовать невозможно - об этом есть соответствующая теорема. Quote:
Почему это? Чему тогда детей в школе учить? Quote:
Что есть протяженность непрерывных точек - не очень понимаю. "Величина отрезка" есть либо мера множества, либо вообще расстояние между его концами, никакого понятия протяженности к этому не привлекается. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 17:05:20 on 10/21/04 в 16:53:21, V.A.Gonsky wrote:
Все наши естественные науки построены на наблюдении за природой:) А математика их обслуживает с точки зрения аппарата. Вот давеча Энштейну преобразования Лоренца для СТО понадобились, а они корнями в пространство Минковского уходят. А это такое пространство, которое из кватернионов состоит (это такие мнимые числа, для которых a*b не равно b*a). И шо ви таки думаете? Преспокойно их вне связи с внешним миром исследовали, и никто не морщился. А как понадобились - тут же к делу подшили:) Прошу прощения за намерянное утрирование, просто я всегда этот аспект (взаимоотношения реального мира и математики) исключительно юмористически воспринимаю :D Quote:
Пожалуйста, не надо говорить за всех. Бурбак разбудите ;D ;D ;D Quote:
Аксиомы Пеано, например. Или "наивная теория множеств". Господи, ну Фихтенгольца посмотрите, у него первая часть посвящена аккурат выводу вещественных чисел, елси мне память не изменяет. Quote:
Я так понимаю, Эльтекке пытается на словах объснить интеграл Лебега. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Eltekke на 10/21/04 в 17:09:46 2 Гонски: Расстояние - это и есть мера протяженности по определению слова протяженность. Связь /отношение вещей существует только у нас в голове. Реально существуют различные телодвижения объектов, которые нам удобно описывать концептами "отношения". " Мы принимаем понятие натуральных чисел интуитивно - потому, что нам так удобно. На основе этих аксиом строится наука, дающая прекрасные результаты. Но и религиозная догма, скажем, о боговдохновенности Корана, тоже дает прекрасные результаты - для тех, кто в нее верит". Да ежели бы мусульмане так и говорили - "боговдухновенность Корана - условный субъективный концепт, который мы применяем, потому как нам так удобно" - тогда да. Но только говорят они совсем не это. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/21/04 в 17:32:55 on 10/21/04 в 16:48:38, Vladimir wrote:
Просто Вы написали, что геометрия сводится к арифметике, я счел нужным заметить, что это не так, по крайней мере в том смысле "геометрии", который используется логиками. Quote:
Да. Quote:
Речь ведь идет о доказуемости теорем, т.е. утверждений, сформулированных на некотором формальном языке. Задача об удвоении куба, скорее всего, не является теоремой той геометрии, о которой я говорю. См. ниже. Quote:
Просто в терминах алгоритмической неразрешимости эти результаты формулировать и доказывать гораздо удобнее. Как Вы вообще определяете "доказуемость"? По-моему, так пресловутая машина Тьюринга - наиболее естественный инструмент. Вообще, формальная система обязательно требует наличия "алгоритмической" процедуры, устанавливающей "правильность" применения правил этой системы итд. Quote:
1. Точную формулировку я дам чуть позже, по памяти боюсь ошибиться. Пока скажу, что в том контексте, в каком я говорю о геометрии, перечисленные Вами задачи не входят в число ее теорем. 2. Да. 3. Вообще-то, между этими альтернативами столь тесная связь, что и то, и другое. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/21/04 в 17:55:22 on 10/21/04 в 17:05:20, Vladimir wrote:
Мы друг другу не противоречим. Попробуйте лишить естественные науки их аппарата, и Вы выбьете у них почву из-под ног. Можно подумать, кватернионы не основаны на нашем понятии натурального числа. Да еще как основаны. Quote:
Воспринимать Вы его можете как угодно, поэтому давайте вернемся от личного отношения к сути дела. :) Quote:
А что Бурбаки говорят по этому поводу? Quote:
Аксиомы Пеано не дают полностью адекватного описания натуральных чисел. Оператор следования S невозможно описать в терминах логических кванторов логики первого порядка, чтобы описать его, необходимо перейти к логике второго порядка, а она не дает нам формальной системы, т.е., в ее рамках нельзя алгоритмически решить, правильно мы применяем правило системы или нет. Я говорил именно о формализации в рамках формальной системы, возможно, Вы меня не так поняли. "Формально" определить-то их, конечно, можно, это и делается, только вот что толку с этой "формальности", если для определения того, о натуральных числах идет речь или нет человеку все равно приходится прибегать не к формальному алгоритму, а к своей интуиции. Quote:
А разве интеграл Лебега требует "непрерывной протяженности"? Вы же наверняка помните пример всюду разрывного множества, мера которого отлична от нуля. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 17:57:59 Понял. Мне действительно не совсем верится, что можно ввести понятие "классической геометрии", но если вы мне ее объясните (строго определения не обязательно, просто чтобы я смог понять концепцию) то будет очень здорово:) Я о таком, во всяком случае, не слышал. Quote:
Следующим образом: 1. Имеется набор аксиом 2. Имеется набор формальных операций над утверждениями. Известно, что применение любой из этих операций над истинными утверждениями дает истинные утверждения. 3. Все те утверждения, которые мы можем получить серией последовательных операций над аксиомами мы называем доказуемыми. Насколько я помню, Гедель доказал, что если набор операций "достаточно сложен" (формальное описание, естественно, имеется), то существуют истинные утверждения, которые недоказуемы в смысле 3. На мой вкус, машина Тьюринга - идеальный инструмент для проверки доказуемости, но не истинности утверждений. И, опять же на мой вкус, те дебри в которых прячутся истинные недоказуемые утверждения куда дальше от "интересной" части науки, чем трансцендентные числа - от геометрии ;) Каждому свое, как говорится ;D |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/21/04 в 18:07:17 on 10/21/04 в 17:09:46, Eltekke wrote:
В математике расстояние - это просто особая функция, определенная для любых двух точек (метрического) пространства. Никакой "протяженности" между ними может и не быть. Quote:
Отношений, значит "не существует", а телодвижения "существуют". А в чем разница-то? Это напоминает старый спор о том, существуют "сущности" или это "просто отображение" такое у людей в головах. Это вообще очень непростой вопрос, что можно назвать "существующим", а что нет. Вот 9-я симфония Бетховена - она существует? Предлагаю оставить этот вопрос. :) Quote:
То есть, если Vladimir, по всей видимости, отказывается принять, что натуральные числа - субъективный концепт, то это автоматически делает их догмой? ;) При условии, что это _действительно_ субъективный концепт (предположим, что мне удастся доказать их не-объективность)? |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 18:13:21 on 10/21/04 в 17:55:22, V.A.Gonsky wrote:
Это да. Я в самом начале треда и сам писал, что спор-то не о существе дела, а о его интерпретации в рамках общей "картины мира" Quote:
Это безусловно. Просто я хотел подчеркнуть, чт несовпадение свойств каких-либо математических объектов с нашими привычками не заставляет нас ужасаться:) Quote:
Конкретно они - не знаю:) Но имея сомнительное удовольствие пытаться разобраться в их талмуде, не верю что они относились к натуральным числам как к интуитивно понятным объектам, чье поведение надо лишь описать формально:) Quote:
Простите, наверное вы правы, а я просто не знаю точно "вашего" языка, но чем "плохо" определение операции сложения a+b=S(a), если b=1 и a+b=S(a)+P(b), где S(P(b))=b, если b>1 ? Где тут я должен прибегать к интуиции? Я ввожу определение и применяю его, доказываю непротиворечивость по отношения к имеющимся аксиомам, достраиваю до абелевой группы по сложению, получая целые числа и так далее:) где на этом пути мне нужна интуиция? Quote:
Насколько я понимаю, Эльтекке совсем не в математике специалист,ему простительно делать подобные ошибки:) Насколько я понимаю, он вел речь о том, что мощность множества объектов меры нуль может быть больше нуля, ну а "непрерывность" тут действительно ни при чем. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 18:23:50 on 10/21/04 в 18:07:17, V.A.Gonsky wrote:
Для четкости: хоть меня и переколбасило на слова "субъективный концепт", вынужден признать, что таковыми они и являются. Т.е., я бы перенес их в особо избранный и уважаемый подвид "моделей сферических коней в вакууме", характеристик в чистом виде, да вдобавок разделяемые не только мной, но от этого объективно существующими они не становятся, да и не могут (хотя бы потому что непротиворечивость этой модели недоказуема) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 10/21/04 в 18:49:20 Что ж вы так, коллеги... Мне через полчаса семинар проводить, а вы отвлекаете... :) Эльтекке, я не совсем понял, что Вы имеете в виду под непрерывными множествами (такое сочетание терминов встречалось мне только в "Принципах математики" Рассела - там это что-то вроде современного понятия связности). Но если понимать "протяженность" как лебегову меру на прямой, получится частный случай утверждения: мера объединения (несчетного) семейства множеств, каждое из которых имеет нулевую меру (например, точек), может равняться любому неотрицательному действительному числу. Похоже? И присоединяюсь к просьбе относительно понятия истинности в философии математики. Я-то привык понимать истинность высказываний либо в формальном смысле - как принадлежность к произвольно выделенному классу (аксиомы и их формальные следствия), либо в эмпирическом. Кое-что слышал и о других позициях (конструктивизм, интуиционизм), но немного. А натуральные числа считаю ИНТЕРсубъективным концептом. :) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/21/04 в 19:04:35 Непрерывные множества - это см. всю топологию. Ну а если еще и метрика есть то вообще нос в табаке окажется:) Кстати, Бенедикт, я-таки попрошу и вас поосторжнее:) Множество может вообще не иметь меры, даже лебеговой. Пример: берем окружность радиуса 1, метим на ней цветом точку. Метим этим же цветом все точки, ктороые получатся из начальной откладыванием нитки любой рациональной длины (можно в любом направлении и несколько оборотов по окружности). Получившееся множество не имеет вообще никакой лебеговой меры (если бы имело меру 0 - значит, число пи рационально, если бы имело меру больше 0 - значит, окружность мы бы закрасили в конечное количество цветов, но у нас есть минимум счетное множество иррациональных чисел, не сводящихся друг к другу и пи). А истинность в моем понимании дело такое: есть система аксиом и правила вывода. Любое утверждение в рамках этих аксиом+правил или истинно, или ложно. Часть из этих утверждений доказуема. Если система удовлетворяет условиям теоремы Геделя, то существуют истинные недоказуемые утверждения (естественно, обратные к ним тоже недоказуемы). |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Anchan на 10/21/04 в 19:06:03 Мда, черт дернул меня за язык помянуть к ночи пятый постулат!.. Уже и формулы пошли. ;D Я вот о чем подумала. Мы, биологи, по сути дела находимся в положении питекантропа, который пытается разобраться в устройстве Макинтоша G4. Мы задаем некие теоретические посылки (аксиомы), строим на них теории, которые пересматриваются каждый раз при появлении новых данных. У нас сложно найти догму, т.е. абсолютную истину, которая была бы применима в любой ситуации. Например, в большинстве случаев переносчиком генетической информации является не белок, не сахар, а ДНК. Однако получил же мужик Нобеля за прионы - там переносчиком является белок. В отличие от вирусов (ДНК + белки), прионы - чисто белковые молекулы. Так что наша наука о-очень нестрогая, и аксиоматику постоянно приходится пересматривать. Сомневаться полезно - глядишь, Нобеля дадут... ;D |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 10/21/04 в 20:53:56 Владимир, а я и не утверждаю, что любое множество измеримо. Только, что мера, если она определена, может быть любой. А так в стандартной аксиоматике неизмеримых по Лебегу множеств на прямой даже гораздо больше, чем измеримых. По аксиомам биологии когда-то видел популярную работу в "Науке и жизни". Там их было всего три, но я уже не помню ни одной, ни даже имени автора. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/22/04 в 15:48:39 on 10/21/04 в 18:13:21, Vladimir wrote:
Ну конечно же вот здесь: "так далее:)". :) Интуиция нужна в тот момент, когда нам надо признать "истинность" того или иного утверждения - мы прикидываем, обладают ли столь родные нам натуральные числа указанным свойством или нет. Вообще об истинности: те три пункта, которые Вы описали выше, всем хороши, но сводят понятие истинности только к допустимым выводам из аксиом, которые также принимаются истинными априори (это воистину формалистский подход). Здесь есть две проблемы. Во-первых, на каком основании мы принимаем ту или иную аксиому как истинную? Конечно, на основании интуиции. Возьмем арифметику. Кто сказал нам, что ab=ba? На примерах бананов и яблок все работает. Легко также обобщить до "геометрической интуиции", которую Вы недавно назвали не более, чем гимнастикой для ума. Действительно: *** *** *** *** *** это то же самое, что ***** ***** ***** Чем не доказательство (для человека) коммуникативности по умножению, сиречь переместительного закона? Но дело-то в том, что для чисел порядка 2 в степени (2 в степени 65536) мы уже не можем доказать его себе подобным образом. Мы уповаем на свою интуицию, которая говорит нам, что если это верно для 1, 2, 3, то верно и для ,... :) Ладно, допустим, мы приняли аксиомы лишь однажды на веру и дальше хотим этим ограничиться. Но ведь теорема Гёделя и говорит нам, что коль скоро мы приняли все аксиомы достаточно богатой системы А, то должны принять и истинность "гёделева аргумента", утверждения о непротиворечивости А, хотя из правил системы А это утверждение выводиться не может. Итак, какую бы мы систему не взяли (содержащую арифметику и логику), нам ее заведомо не хватит для доказательства истинности всех утверждений, которые могут быть в этой системе сформулированы, и которые мы - интуитивно - понимаем как истинные. Касательно интуитивного понимания концепции натуральных чисел: предположим, что мы взяли некоторую формальную систему и тот аргумент, который мы не можем вывести из нее, но, тем не менее, интуитивно принимаем как истинный. По теореме все того же вездесущего Гёделя о полноте, существует интерпретация этой формальной системы, в которой все выводимые результаты останутся истинными, а вот "гёделевский аргумент" (сформулированный для случая натуральных чисел, конечно же), будет иметь значение "ложно". В такой интерпретации на место тех символов, которые означали натуральные числа при гёделевском доказательстве, встанут некие другие числа, иное значение будут иметь логические связки и кванторы и т.д., но мы лишь интуитивно сможем понять, что именно вот эта интерпретация относится не к случаю милых нашему сердцу натуральных чисел, известных нам по бананам и яблокам, а будут означать нечто иное. С точки зрения выбранной изначально формальной системы они будут равноправны. Что это, если не интуитивное понимание о натуральных? Vladimir, по поводу геометрии, пока мне удалось лишь найти утверждение о том, что для суждений некоторого частного вида (тот самый вариант "без наворотов"), евклидова геометрия может быть выражена в виде формальной системы - это использовалось при машинном доказательстве некоей "гипотезы Тебо". Очевидно, использовалась система аксиом Гильберта, а вот какие правила - пока непонятно. Рискну предположить, что все теоремы "школьной геометрии" подобным образом выразимы. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/22/04 в 17:10:46 on 10/22/04 в 15:48:39, V.A.Gonsky wrote:
Да Эру с вами! "И так далее" относится исключительно к моему образу действий, а никак не к выводу вещественных чисел. Сначала я ввожу натуральные числа, затем определяю операцию сложения и умножения, затем дополняю положительные числа нулем и отрицательными, получая таким образом числа целые. Соответственно возникает операция вычитания. Следующий шаг - ввожу числа рациональные, введением понятия деления на любое число кроме нуля. Для удобства школьников объявляю что все 4 операции имеют смысл на всем множестве целых чисел (да и натуральных) там, где они дают результат в пределах этого множества:) Шаг третий - ввожу понятие сечений и их точных верхних граней (в терминах, если мне память не изменяет, московской научной школы - верхних границ). Объявляю эти сечения вещественными (действительными) числами. Аплодисменты, занавес закрывается ;D |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/22/04 в 17:36:54 Теперь об "истинности", если позволите. on 10/22/04 в 15:48:39, V.A.Gonsky wrote:
А вот Гаусс (цитату не найду, читал об этом еще лет 12 назад) сразу все формально воспринимал, не в духе "интуитов" XVIII века. И вообще, для науки не имеет ни малейшего значения, из каких соображений я пришел к верному выводу, имеет значение лишь одно: сумел я этотвывод математически строго доказать, или нет. Quote:
Второй пункт верен, а первый - нет. У нас есть набор аксиом, истинны те утверждения которые верны в рамках этой системы:) А то что вы пишите - это доказуемость. Quote:
Основание? Четыре ноги и хвост - вот мое основание! ;D С точки зрения математики основание одно: предложенная система аксиом непротиворечива. С точки зрения естественных наук основание другое - "хрен его знает, как это работает, но результаты с практикой совпадают" Quote:
Да вот не доказательство, знаете ли:) Доказательство это, например, вот что: Лемма (она же - основа для метода индукции): a=a*1=1*a для любого натурального а (доказательство опускается за очевидностью, могу привести при желании:) ) Шаг индукции: предположим, что a*b=b*a для любых а,b > 1. Тогда (a+1)*b = a*b+1*b = a*b+b = b*a+b = b+b*a = b*(1+a) = b*(a+1) Ч.т.д. Нам вашего воображения не надо, у нас все ходы записаны ;D Quote:
Вам - да. А у меня доказательство есть:) Quote:
Что-что-что??? На стол колоду, господа. Я прошу ссылку (можно на бумажный источник, тогда просьба привести здесь полный текст теоремы) на теорему Геделя в таком виде. Лично я сталкивался только и исключительно с иными вариантами формулировки. Quote:
Ссылку. Quote:
В школьной геомертии указывается на задачи трисекции угла и удвоения куба, так что ограничение должно быть более узким, если существует вообще. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/22/04 в 17:45:25 Кстати, для тех кто не знает: есть такой известный автор, Смаллиан, он написал несколько "говололомочных" книг. В частности, там довольно хорошо разобрана теорема Геделя на "несерьезном" уровне. http://golovolomka.hobby.ru/books/smullian/name/content.shtml |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/22/04 в 17:55:56 on 10/22/04 в 17:10:46, Vladimir wrote:
Я имел в виду, что наиболее критично интуиция требуется математику в дальнейшем, что скрывается за мистическим выражением "и так далее". Одного принятия системы аксиом, ясное дело, не хватает для вывода всех теорем, истинность которых мы можем установить тем или иным (выходящим за рамки первоначальной системы) способом. Дальнейшие разъяснения - не сегодня, я в цейтноте. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/23/04 в 15:42:53 on 10/22/04 в 17:36:54, Vladimir wrote:
Так мы и говорим о том, что такое математическая строгость. Вон, Гильберт тоже очень хотел, чтобы все было доказано математически строго. Однако, вышел облом-с. Quote:
Ээээ... А что такое у Вас "верны"? ::) Quote:
Да ну, ничего подобного. Можно привести сколько угодно формальных непротиворечивых систем аксиом, их изучение, конечно же, внесет большой вклад в теорию формальных систем, но обычно математика претендует на что-то все же большее. Например - на изучение свойств натуральных чисел. А аксиомы о натуральных числах мы вводим на основании своей интуиции. Quote:
Контора пишет! :) А дело-то в том, что Ваше всем-доказательствам-доказательство требует принятия мат.индукции как аксиомы, а мое - нет. Это был пример, собственно. Кстати, о матиндукции. Слышали ли Вы о теореме Гудстайна? Ее нельзя доказать, основываясь на матиндукции, однако же можно доказать, используя некий новый "интуитивно очевидный" метод - трансфинитную индукцию. И так всегда - по теореме Гёделя - аксиом и правил не хватает, и приходится "выдумывать" новые, сообразно нашему чувству математической интуиции. Quote:
Я все-таки не успеваю сегодня с этой объемной темой, постараюсь в воскресенье. Quote:
Ну, вероятно в этой системе формализуются суждения типа "диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам", в отличие от "можно ли построить с помощью циркуля и линейки...". Последние, как известно, и не доказываются в рамках школьной геометрии. Я продолжу поиски, если термин "школьная геометрия" Вам кажется некорректным. Речь, повторю, идет о некоей усеченной версии суждений, которые допускается называть теоремами - в этом случае евклидова геометрия описывается полной формальной системой. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/24/04 в 13:03:32 on 10/23/04 в 15:42:53, V.A.Gonsky wrote:
Облом вышел в том, что не все удается доказать:) Но уж что доказано - то доказано. Quote:
Ну как, берем ещик помидор. В нем все кроме двух помидоров - красные, два - зеленые. Утверждение, что все помидоры в ящике красные, неверно:) Quote:
Вы ее с естественными науками не путаете, часом? Quote:
А какая разница, почему придумаю те или иные аксиомы, важно что полученная система непротиворечива. Quote:
Имменно, сударь, именно:) Вот только два момента" 1. Приняв однажды мат.индукцию, после этого я спокойно доказываю все, что мне нужно. 2. Принять ее придется и вам, иначе вы в жизнь не отличите множество вещественных чисел от множества гиперреальных (или как там его Коши (?) обозвал), множества в котором мирно соседствуют вещественные и "бесконечно малые" числа. Quote:
Давайте дождемся вашего описания теоремы Геделя. Оно очень расходится с тем, что известно мне:) Quote:
Я не верю в существование такого подмножества, так что буду очень благодарен за следы этого чудо-юда в природе:) И, кстати, получается (по вашей же формулировке теоремы Геделя), что аксиомы Евклида "недостаточно сложны"? |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/24/04 в 22:04:32 on 10/24/04 в 13:03:32, Vladimir wrote:
Именно так. Но на самом деле Гёдель внес фундаментальный вклад в само наше понимание того, в каком отношении состоят математическая истина и формальная доказуемость, а не просто обломал Гильберта с его формализмом. А в таком отношении, что без интуиции обойтись нельзя. Какую бы мы единожды не выбрали формальную систему (с арифметикой и логикой), для установления всех истинных утверждений, которые она позволяет сформулировать, придется выйти за ее пределы. Quote:
Это апелляция к интуиции или к формальной логике? Quote:
Нет, не путаю. Просто "натуральные числа" - это, в некотором роде, "естественный" объект, свойственный нашей когнитивной структуре, а не формальное понятие. Quote:
Нет, большая разница, почему Вы их придумаете. Аксиомы сами должны быть "интуитивно очевидными". Арифметика с аксиомой выбора или континуум-гипотезой тоже непротиворечивы. Равно как и арифметика с отрицанием аксиомы выбора или отрицанием континуум-гипотезы. Так что важно знать, _почему_ и для чего выбирается та или иная система аксиом. Я обещал про теорему Геделя о полноте разъяснить, вот что имелось в виду: "Доказательство Гёделя дает способ построения контрмодели (т.е. модели для отрицания) всякой формулы А, невыводимой в Генцена формальной системе без сечения" (цит. по см. ниже). Сие означает, что существует интерпретация, в которой "интуитивно истинное" утверждение, например о непротиворечивости системы аксиом, оказывается ложным. Не на натуральных числах, а на неких других. Quote:
1. Теорему Гудстайна не докажете. :) 2. Да я не собираюсь ее не принимать. Я иллюстрировал лишь то, что для понятия "истины" нам нужно нечто сверх любой системы аксиом, хоть самой распрекрасной. Quote:
Это вторая теорема Гёделя о неполноте, не понимаю, с чем оно у Вас расходится. ::) Цитирую по математической энциклопедии: Первая Г. т. о н. утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики, найдется формально неразрешимое суждение, т.е. такая замкнутая формула А, что ни А, ни ~A не являются выводимыми в системе. Вторая Г. т. о н. утверждает, что при выполнении естественных дополнительных условий в качестве А можно взять утверждение о непротиворечивости рассматриваемой системы. Quote:
Под достаточной сложностью я понимал включенность арифметики. В этом смысле аксиомы Евклида недостаточно сложны. Касательно чудо-юда: придется процитировать сэра Роджера Пенроуза, чью позицию я, в общем-то, и излагаю. There is a difference, however, in that what a logician might refer to as 'Euclidian geometry' can indeed be specified (with some reservations*) in terms of a particular formal system, whereas, as Goedel has shown, ordinary 'arithmetic' cannot be so specified. * - In fact it depends upon which statements are considered as part of what is being called 'Euclidian geometry' here. In the usual terminology of the logicians, the system of 'Euclidian geometry' would only include statements of certain particular kinds, and it turns out that the truth or falsity of such statements can be resolved in terms of an algorithmic procedure - hence the assertion that Euclidian geometry can be specified in terms of a formal system. ... R.Penrose "Shadows of the mind" К сожалению, он не дает ссылку на литературу по этой проблеме, но я предлагаю поверить Оксфордскому профессору. :) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 10/25/04 в 02:58:57 Несколько замечаний. В.А., Вы хотите сказать, что система натуральных чисел – некая культурная универсалия, заданная устройством нашего мозга? Почему же тогда некоторые индейцы Амазонии до сих пор считают по принципу «один, два, много» и переучиванию в зрелом возрасте не поддаются? Особенно неожиданно это звучит в устах человека, упорно отрицавшего на ХА наличие культурных универсалий даже там, где они действительно были обнаружены антропологами, а именно в этике. О теореме Гёделя. Мне попадалось ее сопоставление с проблемой останова машины Тьюринга. Истинные высказывания можно промоделировать программами, которые останавливаются за конечное время, а доказуемые – теми, конечность которых можно установить с помощью другой конечной программы. В этих терминах теорема Гёделя утверждает, что не существует универсальной конечной программы для проверки других программ на конечность. Да, насчет количества измеримых множеств я был неправ. Это борелевских множеств только континуум, а измеримых по Лебегу – гиперконтинуум, как и неизмеримых (достаточно взять все подмножества канторова совершенного множества, имеющего мощность континуума и лебегову меру нуль). |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/25/04 в 10:56:14 on 10/25/04 в 02:58:57, Бенедикт wrote:
Про устройство мозга - это была моя вольность. На самом деле, конечно, я не знаю, каким местом человек постигает концепцию натуральных чисел, из платоновского мира идей, или же это форма априорного созерцания или еще что-то неизвестное. Факт состоит в том, что свести идею натуральных чисел к формальной системе правил невозможно, и это, как ни удивительно, можно доказать математически. Quote:
Минуточку, Бенедикт, на ХА обсуждалось нечто совсем другое, во-первых, _происхождение_ этики, биологическое или культурное, а вовсе не отсутствие универсалий. Универсалия вообще понятие субъективное и зависит от выбора семантики. Скажем, понятие добра получает свою "универсальность" посредством введения понятия "свои", настолько зыбкого и произвольного, что лично меня это не убеждает в "природности" этики у человека. Во-вторых, натуральные числа в этом смысле объект несколько более объективный, что совершенно не означает, что он априори обязан быть постижим всеми людьми без исключения. Известно, что ребенок, в детстве не слышащий человеческого языка, практически не поддается обучению языку во взрослом возрасте - не развивается центр речи (наверное, он расположен в третичной коре, которая развивается в это время, впрочем, непринципиально). Можно предположить, что у индейцев не развивается некий "центр счета". Что не опровергает факта, что мозг принципиально разбирается в том, что же такое эти самые натуральные числа. Quote:
Да, разумеется, это ее эквивалентная формулировка. Тьюринг и пришел к своей проблеме останова, изучив доказательство Гёделя. С точки зрения установления математической истины формальные системы эквивалентны алгоритмам доказательства, формальная система требует алгоритмического способа проверки на применимость правил вывода, а машина Тьюринга, задающая некую процедуру доказательства, сводима к формальной системе - это можно показать. Не очень ясна только разница между истинными и доказуемыми утверждениями. Если смотреть в неком глобальном смысле, задав за правила формальной системы все правила доказательств того, что некая машина Тьюринга не останавливается, известные математикам и признаваемые за "достоверные", то теорема Гёделя покажет, что существует некая МТ, которая не остановится, и что этот факт не может быть выведен из правил изначальной системы. Из этого делается вывод, что для установления математической истины математики не прибегают (исключительно) к алгоритмической процедуре. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/25/04 в 13:57:41 on 10/24/04 в 22:04:32, V.A.Gonsky wrote:
Это безусловно, с этим-то никто и не спорит. Quote:
:) Речь идет о том, что любое утверждение или истинно, или ложно. При этом часть из них мы доказать можем, а часть - нет. Quote:
Третий раунд:) А для меня это-таки формальный объект, а не что-то там "естественное". Дальше драться будем ;D ? Quote:
Мой ответ - да все они хороши. Одни в одном случае пригодятся, другие - в другом. А математики их про запас кропают, вдруг какому-нибудь физику в будущем пригодится:) Quote:
Проблема, однако. Берем какую-нибудь "достаточно сложную" систему аксиом и добавляем к ней аксиому 2*2=5. Проще система от этого явно не становится, а вот доказывается противоречивость полученной системы на раз:) Quote:
Понял, спасибо. Т.е., буду теперь знать, что можно как-то построить "геометрию без арифметики", только непонятно как:) В любом случае, спасибо. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 10/25/04 в 14:11:15 on 10/25/04 в 10:56:14, V.A.Gonsky wrote:
А что значит "более" или "менее" объективный? Quote:
Я понимаю так: формальные правила доказательства тоже можно представить в виде программы машины Тьюринга (Икс) и применить к коду другой программы (Игрек). Программа Икс должна в результате конечного числа операций выдавать один результат для останавливающихся Игреков и другой - для неостанавливающихся. Если она выдала первый результат, высказывание, соответствующее программе Игрек, считается доказанным. Аналог теоремы Гёделя утверждает, что нельзя придумать такую программу для всех Игреков сразу. Об остальном позже. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/25/04 в 15:48:05 on 10/25/04 в 13:57:41, Vladimir wrote:
Так я все пытаюсь у Вас выяснить, что Вы называете истинным, в том случае, когда оно недоказуемо? Quote:
Какой же это формальный объект, если все свойства этого объекта невозможно задать аксиоматически? Quote:
Это-то понятно. Похоже, мы просто о разном. Вы говорите о том, для чего они, а я о том - как устанавливается истинность. Quote:
См. условие теоремы, сама система аксиом должна быть непротиворечивой. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/25/04 в 15:52:12 on 10/25/04 в 14:11:15, Бенедикт wrote:
Натуральные числа я считаю более объективными, чем добро, поскольку для их определения мы пользуемся менее субъективными критериями. По крайней мере, более интерсубъективными. Quote:
Совершенно верно, но Вы на вопрос мой не ответили - какая разница между утверждениями истинными и доказуемыми? |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 10/25/04 в 19:31:30 on 10/25/04 в 15:52:12, V.A.Gonsky wrote:
Все равно, даже со своим любимым словом :) - не понимаю. Quote:
Если конечность программы можно установить путем _наблюдения_ за ее работой, пока она не остановится, соответствующее утверждение считается истинным. Если то же самое устанавливается без запуска, путем применения вспомогательной программы - доказуемым. Первое множество шире. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/25/04 в 19:57:29 on 10/25/04 в 19:31:30, Бенедикт wrote:
Натуральные числа натуральны и в Африке, а вот добро повсюду разное. Вы, наверное, возразите, что оно тоже одинаковое, т.к. человек, условно говоря, применяет золотое правило этики к "своим". На это я возражу, что понятие "свои" повсюду разное итд. С натуральными числами, вроде бы, такой неразберихи нет. Что заставляет меня думать о том, что человеку изначально присуща возможность постигать эту абстрактную концепцию, что называется, "по железу". Как - непонятно. Понятно, что присуща. Это и есть интерсубъективность. Вроде интерсубъективности цветового зрения итп, хотя и с ним не так все просто, как с натуральными числами. Quote:
Наверное, все же второе множество шире, т.к. никто не мешает нам включить во вспомогательную программу (например - универсальную МТ) механизм простого запуска рассматриваемой программы. Следовательно, любое истинное утверждение доказуемо (в Вашей терминологии). Очевидное расхождение с теорией. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/25/04 в 20:32:26 on 10/25/04 в 15:48:05, V.A.Gonsky wrote:
А вот тут я с вами соглашусь - для этого необходимо в ряде случае (истинных недоказуемых утверждений) внешнее по отношению к системе знание. Просто меня как раз такие случаи интересуют мало:) Quote:
Все что мне нужно - можно ;D Quote:
Похоже. Только для меня истинность едоказуемых утверждений - дело десятое, с доказуемыми бы разобраться:) Quote:
А как мы это можем проверит заранее? |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/26/04 в 11:03:08 on 10/25/04 в 20:32:26, Vladimir wrote:
Без интуиции - никак. Собственно, о том и теорема, что _если_ система непротиворечива, то изнутри системы мы никак не сможем доказать это. Противоречивость же системы доказуема куда проще - перебором. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Bark на 10/26/04 в 19:00:35 Все это, господа, чрезвычайно поучительно. ''- Вы слыхали о теореме Гудстайна? - Да, конечно. Но не в метрике Махаланобиса!" Владимир, твое раскрашенное счетное множество имеет лебегову меру нуль:) А дело так. Ты определил отношение эквивалентности; назовем две точки на единичной окружности эквивалентными, если они переходят одна в другую при повороте на угол n (n -целое). Классов эквивалентности - континуум; выберем из каждого по одному представителю, получится множество N. Будучи повернутым на углы n, оно заполнит окружность - поэтому у него нет определенной счетно-аддитивной меры - ни нулевой, ни положительной. Множества, неизмеримые по Лебегу - нежить. Они существуют, но их нет. Мы в них принуждены _верить_, но никогда мы не увидим конструктивно построенного неизмеримого множества. Когда-то году в 74-м, роясь в реферативных журналах, я наткнулся на статью некоего Soloway в Bulletin of the American Mathematical Society. Он предлагал заменить аксиому выбора в системе Цермело-Френкеля некоей другой аксиомой (столь же релятивистско-рационально проверяемой, как и аксиома выбора:) ) - после чего каждый линейный оператор, определенный НА ВСЕМ банаховом пространстве, становился ограниченным (оно на самом деле было бы так, если бы не чертовски-божественная цермелистика:) ). Г-н V.A. Gonsky, вы действительно считаете, что 'новый "интуитивно очевидный" метод тансфинитной индукции' действительно нов и действительно очевиден? ??? Мне кажется, неискушенных в основаниях математики посетителей Удела интересует топик: аксиомы математики более похожи на естественно-научные гипотезы (как считают Антрекот, и, кажется, Ан-чан) - или на религиозные догматы? Я лично склоняюсь ко второму, и могу эту точку зрения защищать 8) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/26/04 в 19:19:16 on 10/26/04 в 19:00:35, Bark wrote:
Имелось в виду, что он новый относительно той системы аксиом, в которой теорему нельзя доказать, т.е. системы Пеано. Словосочетание "интуитивно очевиден" имеет в нашем контексте несколько другой смысл, чем в обычном словоупотреблении. То есть "очевиден" только интуитивно, хотя это, в некотором роде, тавтология. Quote:
Было бы интересно выслушать Ваши аргументы. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Bark на 10/26/04 в 20:02:38 Хорошо. Только завтра. Барк |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/27/04 в 17:44:16 Барк, ага, это мы уже поняли в ЖЖ Бенедикта:) Правда, помню я пример множества на этой основе, только сейчас ни времени, ни сил нет его до ума довспоминать:) А аксиомы для меня не религия а так, лишняя коровенка у Матроскина: есть непротиворечивая система - и ладушки, потом пригодится ;D |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Бурбак проснулся. Поднимите мне веки! Прислано пользователем Bark на 10/28/04 в 16:24:06 V.A. Gonsky: А что Бурбаки говорят по этому поводу? Vladimir: Конкретно они - не знаю:) Но имея сомнительное удовольствие пытаться разобраться в их талмуде, не верю что они относились к натуральным числам как к интуитивно понятным объектам, чье поведение надо лишь описать формально:) Цитата (Н. Бурбаки, Теория множеств, гл. III, 4.1): Определение: Говорят, что кардинальное число A конечно, если A <> A+1; конечное кардинальное число называется также натуральным числом. Предложение: Для того, чтобы кардинальное число A было конечным, необходимо и достаточно, чтобы A+1 было конечным. (Ощущение, как будто Библию цитируешь:) ) Пояснения: "кардинальное число" - это мощность множества, то есть класс эквивалентности всех равномощных множеств (множества равномощны, если между ними возможно установить взаимно однозначное соответствие - это древнейшая математическая идея счета на пальцах); "=" - отношение равномощности; "A+B" - мощность объединения двух множеств с мощностями A и B. Все разумное - действительно, и все действительное - разумно:) Натуральное число определяется как количество. Это правильно. Но самое интересное - это определение единицы. Того, что Нечто существует. Это песня. 1 - это мощность множества, состоящего из пустого множества; 0 - это мощность самогО пустого множества; а 2 - это мощность множества, состоящего из пустого множества и множества, состоящего из пустого множества. И так далее. Склоните головы, господа! Вначале бе Слово. Великое здание математики созиждется из пустого множества. Пока мы веруем в существование последнего, математика не погибнет. Да не усомнимся. Ехидно: Австралию каждый найдет, если захочет. Или путешественникам поверит. Кто-нибудь видел своими глазами Пустое Множество? И покажите мне Математика, который в него не верит. До сих пор Адам протирал глаза и именовал сущности: 1,2,3... Но Грехопадение провиденциально - Змий начеку (гл. III, 6.1): Аксиома: Существует бесконечное множество. (Смутившись собственной дерзостью, Бурбаки тут же поясняют: пока это утверждение не доказано, будем считать его аксиомой) Опять полюбопытствую: кто-нибудь видел Бесконечное Множество? Чего нибудь? Ведь Бурбаков никто не отменил, вавилоняне. На них ссылаются. Это - современная математика. Вписывается ли она в вавилонский мир, с пользой и импассией? Дадим слово оппоненту, великому Анри Пуанкаре. Вот что он пишет в книге "Наука и метод", критикуя логиков Бурали-Форти и Кутюра (и математики, и нематематики - в частности, как мне известно из обмена мнениями между Григорием Скороводой и почтенным Урхитессобом на Heart of Sword - читали перевод-сборник "Анри Пуанкаре о науке", 1990). Прошу прощения, но без TeX'а мне не обойтись, а показать хочется :) ): Мы видим, что Бурали-Форти определяет число 1 следующим образом: $$ 1 = \iota T^prime\{\text{Ko} \frown (u,h)\epsilon(u\epsilon \text{Un})\}. $$ Это определение в высшей степени подходит для того, чтобы дать представление о числе 1 тем лицам, которые никогда о нем ничего не слышали! Я слишком мало понимаю приверженцев Пеано, чтобы рискнуть его критиковать; но я опасаюсь, что это определение заключает petitio principii, так как я вижу цифру 1 в первой части и изображенное буквами слово "Un" ("один") во второй части равенства. Как бы то ни было, Бурали-Форти исходит из этого определения и после коротких вычислений приходит к уравнению $$ 1 \epsilon NO, $$ которое дает нам понять, что "один" есть число. Так как нам теперь приходится иметь дело с определениями простых чисел, то мы напомним, что Кутюра также определил 0 и 1. Что такое нуль? Это число элементов нулевого класса. А что такое нулевой класс? Это класс, который не содержит никакого элемента. Определять нуль при помощи нулевого класса, а нулевой класс при помощи термина "никакой" - это значит поистине злоупотреблять богатством языка; поэтому Кутюра ввел усовершенствование в свое определение, написав: $$ 0 = \iota\Lambda : \phi x = \Lambda.o.\Lambda = (x \epsilon\phi x), $$ что означает: нуль есть число предметов, удовлетворяющих такому условию, которое никогда не выполняется. Но так как "никогда" обозначает "ни в одном случае", то я не вижу значительного успеха в этой замене. Спешу прибавить, что определение, которое Кутюра дает числу 1, более удовлетворительно. "Один - говорит он - в сущности, есть число элементов класса, два любых элемента коего тождественны." Это определение более удовлетворительно, как я сказал, в том смысле, что для определения понятия 1 автор не пользуется словом "один". Зато он пользуется словом "два". И я боюсь. что если спросить у Кутюра, что такое "два", он должен будет в ответе воспользоваться словом "один". Я прекращаю цитирование - разговор Пуанкаре с Адамаром напитан, кажется, таким ядом ехидства, который уже неуловим, но поражает наповал:) На эти инсинуации Бурбаки обиженно отвечали (postfactum, в "Историческом очерке" к "Теории множеств"): ...Пуанкаре постоянно смешивал понятие целого числа в формализованной математике и только намечавшееся тогда использование целых чисел в теории доказательства... Пуанкаре, который, чтобы пробить брешь в формализме, подхватил на свой лад идею Гильберта, подчеркивая с ехидным удовольствием, до какой степени далеки были формалисты от возможности ее осуществления... Вавилоняне, эти, почти современные, споры, что они больше напоминают? Спор естествоиспытателей, или спор схоластов? А Пуанкаре был великим естествоиспытателем. PS У Бурбаков превосходные "Исторические очерки" - к каждой их книге. Даже не бурбакистам рекомендую их читать. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: В жанре дзуйхицу :) Прислано пользователем Bark на 10/29/04 в 14:34:39 Я продвигаюсь по треду... как улитка по склону Фудзи, типа:) Ципор: Вопросы: 1) чем догма отличается от аксиомы? Имхо, тем, что аксиома конвенциональна либо личностна, и на абсолютную, не зависящую ни от чего, верность не претендует. [...] Дугласу отвечено, что догмой, по определению, называется нечто, что является безусловной истиной, чего в р-р этике не наблюдается. Еще / me думает, что рациональная этика опирается на соображения пользы, желания и приоритеты (частные и общественные). Все вышеперечисленное назвать догмой нельзя, поскольку они не претендуют быть абсолютно правильными. Я права? Конвенционально и личностно - возможно:) Однако на протяжении многих веков - вплоть до XIX - аксиомы геометрии воспринимались именно как абсолютные истины, не требующие доказательств, то есть как бесспорные догматы. Так же воспринималась логика - цемент, с помощью которого возводилось здание математики. И так же воспринималась научная деятельность математиков - как своего рода богослужение, открывание абсолютных божественных истин. И это были века настоящего и плодотворного развития. Будь Ньютон или Лейбниц скептиками (или будь они пуристами) - не было бы математического анализа, мы бы до сих пор чертили на песке окружности и конические сечения. (Мои извинения Ольге Ч. за "бычество", и всем - за попытку "говорить за всех" :) ) Представление об аксиомах как о чем-то относительном и произвольном - это продукт кризисного ХХ века. V.A. Gonsky: Имхо, аксиома хоть и недоказуема (а в рамках формальной системы без недоказуемых утверждений не обойтись), но _опирается_ на нечто. На "геометрическую интуицию", например. Именно так. Но, насколько я понимаю, интуитивное познание (в таких формах, как вдохновение, озарение, откровение, инсайт etc) свойственны скорее "сверхценностному" мироощущению, нежели рационально-эмпирическому. Интуиция прочно связана с верой - конечно, не обязательно "авраамической". Имея дело лишь с короткими отрезками - даже если они соединяют звезды, - невозможно проверить, что существуют параллельные прямые; в это можно только поверить. Можно только поверить в существование бесконечных множеств. Наконец, можно только поверить, что в области бесконечного действуют законы аристотелевой логики, абстрагированные от конечного эмпирического опыта. Последняя мысль принадлежит отцу "интуиционизма" Лейтцену Эгберту Яну Брауэру (1907). Она была потом воспроизведена Германом Вейлем (это - прославленное имя) в предисловии к рецензии на книгу "Философия Бертрана Рассела": Брауэр открыл нам глаза и показал, как далеко классическая математика питаемая верой в абсолютное, (выделение мое - Bark) превосходящее все возможности человеческого понимания, выходит за рамки таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на опыте. Согласно его точке зрения и историческим изысканиям, классическая логика была абстрагирована от математики конечных множеств и их подмножеств (слово "конечный" здесь надлежит понимать в его точном значении: элементы такого множества предъявляются явно, один за другим). Тот, кто забывает об этом ограниченном происхождении, принимает затем логику за нечто, стоящее над всей математикой и первичное по отношению к ней, и, наконец, без всякого основания применяет ее к математике бесконечных множеств. В этом - падение и первородный грех теории множеств, за который она справедливо наказана антиномиями. Удивительно не то, что такие противоречия возникли, а то, что они проявились на столь поздней стадии игры! И я еще с удовольствием скажу, что то же сомнение в правомочности абстрагирования нашего конечного опыта в бесконечность было в свое время переоткрыто на листе Forum-T Ольгой Б. (Ч.) - которая навряд ли читала Брауэра и Вейля - но гордые математики листа не обратили на эту незаурядную мысль никакого внимания :) (А спорили мы тогда о том же пресловутом Пятом Постулате - но применительно к дуализму Арда/Арта) V.A. Gonsky: Догма на эмпирический опыт (по крайней мере, всех индивидуумов) не опирается, догма "имеет право" быть недоказуемой ничем и ничему не соотвовать, кроме самой себя. К сожалению, в этой дискуссии хорошо представлены математики, но, кажется, нет людей, столь же сведущих в теологии. Антрекот: Есть еще одно существенное различие. Если вдруг окажется, что некая аксиома полностью или частично неверна (нету газу теплороду! (с)), ничего особенного не произойдет. Антрекот, аксиома не может быть верна или неверна. Она может противоречить другим аксиомам системы или нет. Или же она может оказаться выводимой из них, то есть теоремой. Это современная точка зрения, но, повторю, вплоть до ХIХ века она никому и в голову не приходила; а когда пришла - в математике разразился кризис, который продолжается до сих пор. Систему Птолемея в качестве контрпримера я не приму. "Геоцетрическое" предположение - это опять-таки естественно-научная гипотеза, а не аксиома математики. А вот догма неприкосновенна. Да, для тех, кто исповедует соответствующее вероучение. Ну и что? В соответствующем смысле и аксиомы неприкосновенны. Пятый Постулат неприкосновенен в евклидовой геометрии, а она необходима математике независимо от того, искривлен обитаемый мир или нет. Потому что, как выяснилось, роль (евклидовой) геометрии не только - и не столько - в том, чтобы моделировать реальный трехмерный мир; будучи обобщена на бесконечные гильбертовы пространства, она легла в основу, например, квантовой механики. И она же, в инфинитезимальном качестве, совершенно необходима всему математическому анализу. Отличие аксиом математики от гипотез естественных наук как раз в том, что они "неприкосновенны" - пока не установлена их противоречивость другим аксиомам. Гипотеза о теплороде осталась лишь в истории науки, как и система Птолемея; но Пятый Постулат прекрасно сохранился; евклидову геометрию никто не отменил, хотя ее роль изменилась. Она перестала быть точной моделью реального мира, но, повторю, арифметизировавшись, стала необходимым математическим инструментом. И, с другой стороны, так ли уж неприкосновенны догматы христианских церквей? Для христианина неприкосновенны Евангелия; но догмата о Троице в них нет; он был разработан отцами церкви и утвержден на Вселенском соборе; в принципе, очередной Собор может догмат изменить. Разве не так произошло с догматом filioque? мне пришла в голову забавная параллель: католицизм и православие - с одной стороны, и геометрии Лобачевского и Евклида - с другой. Причем в роли Католика - Лобачевский:) Продолжая аналогию, можно уподобить ислам - проективной геометрии: нет бога кроме Бога, и любые две прямые пересекаются:) Протестанты - это, конечно, Риман. Геометрий вдруг стало много. Забавно. Что же сопоставить вере Авраама? - топологию? :) Естественно-научная гипотеза может оказаться устаревшей или даже ошибочной, но не аксиома. И вот я думаю, что математические аксиомы гораздо более похожи на церковные догматы, чем на физические гипотезы - тем, что они не "отменяются" и не заменяются другими, более совершенными. Вероучения дробятся, избирая разные системы догматов, подобно тому, как разветвляются математические теории - продолжая существовать, сосуществуя. Ан-чан: И догма и аксиома - недоказуемые утверждения. Догма - аксиома, которая настолько сама собой разумеется, что и говорить об этом нечего. Более того, не только для тебя, но и для соседа Васи. Ага. Догмат о Троице, например :) Он не совсем самоочевиден, так ведь, Аня? И если сосед Вася безверующий или инаковерующий, для него эта догма необязательна. Разве нельзя сказать, что в определенном смысле догма - это "аксиома вероучения"? Разобравшись со своими геометриями, математики усвоили определенную "веротерпимость", которой раньше не было в помине; но разве аналогичный процесс не наблюдается во взаимоотношениях между религиями и конфессиями? Аксиома же - недоказуемое утверждение, которое оговаривается перед началом рассуждений. При этом подчеркивается, что рассуждения правомерны только в рамках данной аксиоматики. Но так ведь и c догматами - я уже говорил, отвечая Антрекоту. Например, в рамках эвклидовой геометрии через точку на плоскости можно провести не более одной линии, не пересекающей данную прямую. Это утверждение, хотя и базируется на здравом смысле, на самом деле недоказуемо. Лобачевский построил альтернативную геометрию, взяв за аксиому утверждение, что таких линий больше одной. Здравый смысл нас подводит, как только мы приближаемся к бесконечности. Греки, кстати, и старались к ней не подходить. Евклид не говорил, что простых чисел бесконечно много, хотя это и доказал. Но формулировка была у него примерно такая: сколько ни взять простих чисел, а найдется еще одно. Так же он сформулировал и Пятый Постулат: "если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых". Это - потенциальная бесконечность, более безобидная. Но сама-то прямая - это явная, актуальная, зубастая бесконечность. Не только потому, что она простирается бесконечно, но и потому что она континуальна. Греки не испугались ее бесконечной протяженности, но очень опасались континуальности. (Мне кажется, Eltekke под "непрерывным множеством точек" имел(а) в виду именно континуум) Господа математики, если что наврала - поправляйте. Стараемся:) Владимир: Ан-чан, там еще веселее было. Все пытались "сомнительную" Пятую Аксиому вывести из остальных, а он предложил доказать от противного, привести к противоречию предположением что она не верна. А, ко всеобщему уживлению, система оказалась живучей:) Оба вы не совсем правы;) Там целая компания веселилась, и Лобачевский (с Бойяи, нужно быть справедливыми) пришли последними :) Это Джироламо Саккери, профессор университета в Павии (и, между прочим, иезуит) заменил Пятый Постулат "аксиомой Лобачевского" и напридумывал множество теорем - по существу развивая "геометрию Лобачевского". Он искал противоречие - и ему помстилось, что нашел. И он написал книгу "Евклид, очищенный от всяких пятен" (!). Потом аналогичную работу проделал Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) - но уже сознавая, что может существовать несколько непротиворечивых геометрий. Все, по существу, было сделано, и задолго до Гаусса, Лобачевского и Бойяи. Кроме одного: отречения от веры в то, что именно евклидова геометрия избрана Творцом для нашего лучшего из миров. Карл Фридрих Гаусс еще дальше продвинулся - то, что мы называем "геометрией Лобачевского" он назвал "астральной геометрией"; дело в том, что в ней чем больше треугольник, тем меньше сумма его углов. Злоупотребляя своим служебным положением:), Гаусс производил геодезические измерения, определяя сумму углов треугольника, образованного горными вершинами Брокен, Хоэхаген и Инзельберг. Получилось у него 180 градусов и 15 секунд :D А он надеялся, будет меньше 180-ти:) И, убоявшись "воплей беотийцев", Гаусс не стал публиковать свои результаты, ограничившись приватной перепиской с коллегами. Осмелились молодой офицер венгр Янош Бойяи (1833) и ректор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1829). Первый восторженно поделился своим открытием с Гауссом, сокурсником своего отца, Фаркаша Бойяи, и великий мэтр похвалил начинающего математика, добродушно заметив, что он и сам все это уже десять лет назад сделал. После такой похвалы Янош чуть не застрелился, и у него навсегда испортился характер. Статский советник Лобаческий был, наверное, более уравновешен, но и он встретил, мягко говоря, непонимание коллег и мыслящей общественности. Он ведь так же надеялся, что его геометрия - это геометрия реального мира, а не только плод его воображения. Математики еще сомневались, еще не хотели верить, что их наука - это не расшифрованные ими замыслы Творца, а только игра по ими же придуманным правилам. Передовая кантиански-настроенная общественность вообще плевалась - стоит почитать самоуверенно-наглые (в этой, по крайней мере, части) "Вилюйские письма" недоучки Николая Чернышевского - к нему очень прислушивались российские студенты. Coup de Grace вере в Пятый Постулат нанес Эудженио Бельтрами - предложив простую ("поймет не только гоблин, но даже дунадан") модель геометрии Лобачевского на обычной евклидовой плоскости - и доказав тем самым уже неопровержимо, что неевклидова геометрия не более противоречива, нежели евклидова. Другие модели потом предложили Анри Пуанкаре и Феликс Клейн. Беда не приходит одна:) Именно, пришел Георг Кантор со своими кардинальными числами, от которых моментально развелись антиномии (а ведь предупреждал старик Зенон! :) ) Потом пришел Эрнст Цермело со своей аксиомой выбора, породившей целый зверинец математической нежити. А потом пришел Курт Гедель: "ни одна система аксиом не охватывает всех истин, содержащихся в любой математической структуре". А Леопольд Левенгейм и Торальф Сколем (1933) сочувственно добавили: "но зато каждая система аксиом включает больше, чем проедполагалось". То есть допускает неизоморфные модели. К слову, и "гипотеза континуума" - заноза, постоянно напоминающая, как мы плохо себе представляем, что такое родная каждому математику вещественная прямая. Морис Клайн ("Математика. Утрата определенности" ("Мир", 1984)) комментирует это дело в таких выражениях: "Кого боги вздумают погубить, того они прежде всего лишают разума. Возможно, боги сочли, что после работ Геделя, Коэна, Левенгейма и Сколема математикам еще удалось сохранить остатки разума, - и подстроили новую ловушку, чтобы довести тех до полного безумия". Речь идет о "гипервещественных числах" и "нестандартном анализе"... "Доктор, а может, меня в реанимацию?..." Математика, которую считали прочно укорененным дубом, стала похожа на орхидею с пышными цветами, но без корней. Сейчас, как я понимаю, видны три тенденции. Некоторые школы, занимающиеся, например, задачами математической фмзики, сосредоточились на вычислительных экспериментах, пренебрегая истинно-математическим объяснением своих результатов (так, Владимир? В.И. Ю-ч в беседе со мной отмечал такую тенденцию). Отказавшись уже от попыток обосновать, например, "принцип монотонной потери устойчивости" для течения Куэтта между цилиндрами. Другие, "чистые", погрязли в "тоположестве" (этот чудный термин я слышал в 74-м году от А.Я. Повзнера) - стоит почитать язвительные высказывания В.И. Арнольда на этот счет. Но есть и третье направление, представителем которого является (IMHO) сам Владимир Игоревич Арнольд. Как я понимаю, оно характеризуется верой в то, что живая математика действительно отражает и воспроизводит реальный мир, и сама некоторым непостижимым образом реальна. И сомнительные аксиомы ее оснований, и ставшая шаткой логика важны, но, в общем, вторичны. Я думаю, это возврат к горделивой и смиренной вере XVIII столетия. В Господа Бога, который изощрен, но не злонамерен :) [Виктор И. Юдович (письмо к Ю. Барковскому от 24.10.2003 :) ): Кто это Вам сказал, что наша кафедра так прагматична, что ей нужны только приложения? Они чистой математике нужны много больше - чтобы понимать, что интересно, а что нет. Замыслы Господа Бога куда интереснее разгадывать, чем рассуждать обо всех возможных мирах. Позволю себе еще несколько цитат - в подтверждение того, что не мы первые озадачились этими проблемами:) Вполне себе получается разговор:) Все участники - компетентнын люди:) Меня несколько раз упрекали в пристрастии к цитированию; но ведь Кэтрин Кинн совершенно справедливо говорит: "подпись многое значит" :) Шарль Эрмит: Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум, - точно так же существует мир физической реальности. Как один, так и другой не зависят от нас, они оба творение Господа Бога и различимы лишь по слабости нашего разума, тогда как на более высокой ступени мышления они суть одно и то же. Синтез этих двух миров отчасти проявляется в чудесном соответствии между абстрактной математикой, с одной стороны, и всеми отраслями физики - с другой. Анри Пуанкаре: Но та гармония, которую человеческий разум полагает открыть в природе, существует ли она вне человеческого разума? Без сомнения - нет; невозможна реальность, которая была бы полностью независима от ума, постигающего ее, видящего, чувствующего ее. Такой внешний мир, даже если бы он и существовал, никогда не был бы нам доступен. Но то, что мы называем объективной реальностью, в конечном счете есть то, что общо нескольким мыслящим существам и могло бы быть общо всем. Этой общей стороной, как мы увидим, может быть только гармония, выражающаяся математическими законами. Альберт Эйнштейн: Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать нам соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций в физике. Но настоящее творческое начало присуще именно математике. Поэтому я разделяю веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность. Шарль Эрмит: Я убежден в том, что числа и функции Анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной реальности,а мы обнаруживаем или открываем или исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи. Герман Вейль: Наука погибла бы без трансцендентальной веры в истинность и реальность и без непрерывного взаимодействия между научными фактами и построениями, содной стороны, и образным мышлением - с другой. Юджин Пол Вигнер: Это чудесный дар, которого мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу [нынче просто не модно благодарить Бога, но что совой об пень, что пнем по сове - Bark] и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Блез Паскаль: ...ибо что такое человек во Вселенной? Небытие в сравнении с бесконечностью, все сущее в сравнении с небытием, среднее между всем и ничем. Он не в силах даже приблизиться к пониманию этих крайностей - конца мироздания и его начала, неприступных, неприступных, скрытых от людского взора непроницаемой тайной, и равно не может постичь небытие, из которого возник, и бесконечность, в которой растворяется. Вавилоняне, если это - не исповедания веры, тогда что? Эта вера отнюдь не сводится к рабскому признанию набора догм - так же, как, наверное, и религиозная вера. Я же говорил вам: вавилонский мир без сверхценной компоненты скучен и неполон:) И еще цитата - мы все узнаем автора и источник:) Таким был мир для Валар и майяр, когда они не смотрели глазами плоти. Он состоял из ничего. Он висел ни на чем... ...И все-таки висел. Лежал словно бы в твердых и теплых руках, которые не давали движущемуся, живому "ничто" обратиться в не-сущее, мертвое "ничто". Это удивительно применимо к современной математике. Применительно к ней, мне трудно представить, что "твердые и теплые руки" - это лишь рационально применяемый эмпирический опыт. Какой эмпирический опыт мог подсказать, скажем, Стефану Банаху его "теорему об открытом отображении"? Только божественная интуиция - чувство "гармонии", которое допустимо считать "голосом Бога". V.A.Gonsky У Лобачевского они тоже не пересекаются, начал он плясать от другого. Но в общем, согласен, аксиома формулируется для чего-то, фактически - для дедуктивного рассуждения. Если имеющимся фактам рассуждение противоречит, аксиома пересмаривается. Например? _________________________________ Шехерезада прерывает дозволенные модераторами речи - мне нужно идти на пару:) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: В жанре дзуйхицу :) Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/29/04 в 16:27:31 on 10/29/04 в 14:34:39, Bark wrote:
Кроме "проверить" и "поверить" существует и третья альтернатива - постулировать. Ведь, по сути дела, математика именно этим и занимается, она постулирует законы некоторого мира (а ля платоновский мир идеальных сущностей, постижимых интеллектом). Затем встает вопрос, работают ли эти законы, будучи применены к законам мира реального. Сплошь и рядом оказывается, что да, и совершенно неважно, что мы можем и не найти в реальном мире точного соответствия какой-нибудь абстрактной математической идее, вроде мнимого числа. Quote:
Это намек на то, что мое утверждение вопиюще противоречит теологии? :) Если да, то я прошу разъяснений в чем именно. Quote:
Если говорить о том, _для чего_ используются аксиомы (а я первоначально говорил именно об этом), то в качестве такого примера можно привести специальную теорию относительности. Следствия из аксиом ньютоновской механики (а это, конечно, математическая теория) перестали удовлетворять требуемым критериям точности в тех масштабах, на которых их потребовалось рассматривать, и они были соответствующим образом скорректированы. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: В жанре дзуйхицу :) Прислано пользователем Bark на 10/29/04 в 17:16:27 on 10/29/04 в 16:27:31, V.A.Gonsky wrote:
Нет. Если бы я так считал, я бы объяснил явно. Я сказал только то, что сказал: среди нас присутствуют люди с математическим образованием и профессиональные математики. Есть люди, представляющие естественные и гуманитарные науки. Но я не вижу в этой дискуссии людей с богословским образованием. Я не очень себе хорошо представляю происхождение, место и роль догматов в религиозном учении, и был бы благодарен за разьяснения специалисту. На остальное постараюсь ответить к завтрашнему дню. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Bark на 10/29/04 в 17:24:49 Владимир: А аксиомы для меня не религия а так, лишняя коровенка у Матроскина: есть непротиворечивая система - и ладушки, потом пригодится ;D Ну вот видишь? :) А меня кашей не корми, а дай поговорить вот именно о таких вещах ::) :-[ PS Обнаружил, что не внес Бенедикта во френды, а сейчас не вспомню его никнейм - он с цифрами:) Не надоело ли мое многословие участникам обсуждения и модераторам? Я еще не весь тред прошел :D 8) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 10/30/04 в 01:26:49 Барк, огромное спасибо за лекции! С нетерпением жду продолжения! :) Ссылка на дискуссию в моем ЖЖ: http://www.livejournal.com/users/benni72/15712.html А с профессиональными теологами здесь, боюсь, туговато (Юрий Носовский, может быть?) У меня, правда, есть учебник по догматическому богословию, но в Москве. Что я оттуда и из другой подобной литературы запомнил: у католиков и православных догматы формулируются на основе Писания и Предания и не должны противоречить ранее принятым; отменить догмат нельзя (если только собор, принявший его, не признан "разбойничьим", что бывало). А если отколовшаяся часть какой-нибудь Церкви принимает новые догматы, те, от кого они отделились, считают их как минимум серьезно заблуждающимися (пример - отношение католиков к протестантскому учению о пресуществлении, да и православных - к филиокве, непогрешимости Папы и т.д.) Есть, конечно, либеральные верующие и даже богословы, считающие, что "все по-своему правы" или "неизвестно и неважно, кто прав" в догматических спорах, но, по-моему, в традиционных Церквах они погоды не делают. Что до математики, Лакатос писал, что сам Евклид считал свои аксиомы спорными допущениями, это уже потом они были "догматизированы". Об эмпирическом происхождении математических понятий есть неплохая книжка Джусти (мой экземпляр на итальянском, не знаю, есть ли переводы на другие языки). Да и в приведенных цитатах Пуанкаре высказывает, имхо, вполне вавилонскую точку зрения. Будет время - могу попытаться разобрать подробнее. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 10/30/04 в 13:28:57 Quote:
Не совсем. Главным образом, это обсуждение "реальности" - что под ней понимать. Все, за исключением Пуанкаре (который говорит о том, что мы постигаем то... что мы постигаем - трюизм) и Паскаля (который проповедует неоспоримый агностицизм) говорят о том, что возможно умственное постижение законов некоторого платоновского мира идей, который чудесным образом соответствует кое-чему в реальном мире. Далее, ставится вопрос: а реален ли этот мир математических идей? Имхо, ответ зависит только от определения "реальности". Если реальностью называть то, что мы постигаем, то реален, конечно же. Если реальностью называть то, что "объективно", лежит вне нас, то нереален, поскольку представляет собой мысленный конструкт (интерсубъективный :)). |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 10/30/04 в 22:46:21 on 10/25/04 в 19:57:29, V.A.Gonsky wrote:
Кажется, понял. По-моему, разброс представлений о НЧ – от счета упомянутых племен до современных математических теорий - не меньше, чем в случае добра, и больше, чем с цветовым зрением. Quote:
Как я понимаю, запускать как раз нельзя. Впрочем, могу ошибаться. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 10/31/04 в 22:32:27 Прошу у всех огромное прощение за задержки с ответами/пропускание чего-то в свой адрес, все-таки сложновато мне сейчас все на форуме отслеживать даже в тех темах, где я участвую:) Так что если что - большая просьба не обижаться, а ткнуть мне пальцем:) Барк, В.И., как всегда безусловно прав:) Есть такая партия, я бы сказал - партия экспериментальщиков. Мне их сильно не с руки ругать, т.к. я всегда место в лагере их оппонентов занимал, а их самих тут нет, отстаивать свою правоту. Если в двух ловах, позиция такая: "Мы знаем, что в природе реализуется такой-то тип течения, давайте определим его параметры". Мне это слышать было, естественно, не очень радостно. Для четкости, мне и подход В.И. кажется несколько схоластичным, так сказать тщательное исследование свойств асимптотики, при том что можно, пусть и менее строго (но не менее строго, чем, к примеру, при экспериментах!) судить о поведении характеристик во всем пространстве. Собственно, я считал и считаю, что численный эксперимент - разновидность эксперимента физического, со своими дополнительными плюшками: возможностью вывести значение практически любой переменной практически в любой точке:) Ну и минус, соотвественно: схему эксперимента/модель изменить куда сложнее, чем в аэродинамической трубе ;D В общем, пристрастный я, куда деваться ;) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 11/02/04 в 10:12:16 Между прочим, я вспомнил пример из обучения школьников арифметике, который даже не на религиозную догму тянет, а на первобытное табу. Вот он (держитесь за стул): На ноль делить НЕЛЬЗЯ! :D |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 11/02/04 в 10:49:06 on 10/30/04 в 22:46:21, Бенедикт wrote:
Разве? А по-моему, нет. НЧ в том племени все те же, просто за недостатком развития "железа" они не идут дальше двух. То же самое, кажется, происходит с воронами. Но мы ведь не говорим о том, что единый принцип цветового зрения не свойственен человечеству как виду только на основании того, что существует явление дальтонизма. Quote:
Тоггда получается парадоксальная ситуация, когда ни одно истинное утверждение не является доказуемым. Если я все правильно понял. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Bark на 11/02/04 в 19:34:10 on 10/31/04 в 22:32:27, Vladimir wrote:
Я тоже... Прошу прощения за молчание из-за нехватки времени. Quote:
Не надо обвинять В.И. в схоластике - не позволю:) Речь о том, что группе физических явлений должна соответствовать математическая теория, адекватно их интерпретирующая и объясняющая. Речь не о собственно доказательстве того же принципа потери устойчивости - это можно, допустим, сделать, просчитав там, где считается, доказав, что счет достоверен, асимптотически оценив там, где недосчитали. Но кому это нужно? Такие доказательства подтверждают, но не объясняют. Речь не о выборе экспериментального пути (это дело почтенное), а о сознательном отрицании того, что нужна математическая теория. Собственно, я считал и считаю, что численный эксперимент - разновидность эксперимента физического, со своими дополнительными плюшками: возможностью вывести значение практически любой переменной практически в любой точке:) Ну и минус, соотвественно: схему эксперимента/модель изменить куда сложнее, чем в аэродинамической трубе ;D Да. И такие эксперименты вовсю у нас проводятся. Но я - "чистый", я не вычисляю, а пытаюсь доказывать. Между прочим, когда-то я побился об заклад с известным тебе Вадимом К., что за год докажу этот "принцип". На бутылку коньяка. Бутылку я проиграл, но надежды не теряю:) Quote:
Я тоже:) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Справка - аксиомы Пеано. Прислано пользователем Bark на 11/02/04 в 19:44:38 Арифметика - аксиомы Пеано. (N - натуральный ряд чисел; x'=x+1 - следующее за x число) 1. 1 - это число; 2. Если x - число, то x' - число; 3. Если x - число, то x' не равно 1; 4. Если x и y - числа, и x'=y', то x=y; 5. Если 1 принадлежит множеству M, и если из того, что x принадлежит M, следует, что x' принадлежит M, то M содержит все натуральные числа) - аксиома индукции. Система аксиом Пеано категорична - любые две системы, удовлетворяющие этим пяти аксиомам, изоморфны. Но в формальной арифметике эта же система допускает неизоморфные интерпретации. Роль дьявола играет, конечно, аксиома индукции - формальная арифметика сужает ее применение. Притом в зависимости от того, какой ее вариант используется - классический или интуиционистский:) Эти аксиомы независимы (легко). Гедель (1931) доказал, что "финитными" средствами доказать непротиворечивость формальной арифметики нельзя. Генцен (1936) доказал непротиворечивость системы Пеано, использовав трансфинитную индукцию (до ординала E_0). Я здесь не специалист - не знаю, правомерно ли оправдывать финитную индукцию с помощью трансфинитной? А в живой теории чисел - например, в теории простых чисел, - самым циничным образом используется утонченный математический анализ:)) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Справка - аксиомы Гильберта Прислано пользователем Bark на 11/02/04 в 19:47:50 Геометрия. Аксиомы Гильберта. 1. Аксиомы принадлежности. 1.1-1.2. Для любых двух различных точек существует (и единственна -1.2) прямая, проходящая через каждую из них. 1.3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой. 1.4-1.5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует (и единственна -1.5) плоскость, проходящая через каждую из этих точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. 1.6. Если две точки лежат в плоскости, то и прямая, проходящая через них, лежит в этой плоскости. 1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку. 1.8. Существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости. 2. Аксиомы порядка. 2.1. Если точка B лежит между точками A и C, то A, B, C - различные точки на одной прямой, и B лежит также между C и A. 2.2. Для любых двух точек A и B на прямой AB существует точка C такая, что B лежит между A и C. 2.3. Среди любых трех точек на прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. 2.4. Пусть A, B, C - три точки, не лежащие на одной прямой, и l - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из этих точек. Тогда, если прямая l пересекает отрезок AB, то она пересекает также или отрезок AC, или отрезок BC (аксиома Паппа). 3. Аксиомы конгруэнтности. (отношение конгруэнтности обозначается ==) 3.1. Если даны отрезок AB и луч OX, то на луче OX существует точка B' такая, что AB == OB'. 3.2. Если AB == A'B' и A'B' == A"B", то AB == A"B". 3.3. Пусть AB и BC - два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а A'B' и B'C' - два отрезка на той же или другой прямой, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если AB == A'B' и BC == B'C', то AC == A'C'. 3.4. Пусть даны угол AOB, луч O'A' и полуплоскость П', ограниченная прямой O'A'. Тогда в полуплоскости П' существует один и только один луч O'B' такой, что угол AOB == углу A'B'C'. Кроме того, каждый угол конгруэнтен сам себе. 3.5. Если для двух треугольников ABC и A'B'C' имеем AB == A'B', AC == A'C', угол BAC == углу B'A'C', то угол ABC == углу A'B'C'. Аксиомы непрерывности. 4.1. Пусть AB и CD - два отрезка. Тогда на прямой AB существует конечное множество точек A1, A2,... An таких, что точка A1 лежит между точками A и A2, A2 - между A1 и A3 и т.д., причем отрезки AA1, A1A2,... конгруэнтны отрезку CD и B лежит между A и An (аксиома Архимеда) 4.2. Пусть на прямой дана бесконечная последовательность отрезков A1B1, A2B2, ... , удовлетворяющая двум условиям: каждый последующий отрезок есть часть предыдущего; для любого наперед заданного отрезка CD найдется натуральное число n такое, что AnBn < СD. Тогда на этой прямой существует точка, принадлежащая каждому из отрезков этой последовательности (аксиома Кантора). Аксиома о параллельных. 5.1. Пусть даны прямая l и точка A, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой l и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей l. (Цитирую по Математической энциклопедии - статья "Гильберта система аксиом"; см тж. Д. Гильберт, Основания геометрии, 1948; Н.В. Ефимов, Вычшая геометрия, 1971) ______________________________________ Вот оно как. Арифметика имеет 5 аксиом, евклидова (трехмерная) геометрия - 20. Ясно (аксиомы непрерывности), что эта геометрия опирается на арифметику натуральных чисел и содержит в себе арифметику чисел вещественных; здесь Владимир прав. Четвертая группа аксиом - это именно то, что обходили стороной греки - кроме, пожалуй, великого Архимеда; но он опередил свое время, ему бы к нам... и компьютер дать:) Варвары все-таки эти римляне. История на Патриарших: Архимед, живя в отдаленных Сиракузах, отсылал свои статьи в центр, в Александрию. А тамошние деятели повадились воровать его результаты, придумывая им свои доказательства. Архимед, обнаружив это, подкинул им пару заведомо ложных теорем... Эта система аксиом непротиворечива, если непротиворечива арифметика. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Справка - аксиомы Цермело-Френкеля. Прислано пользователем Bark на 11/02/04 в 19:56:30 Теория множеств. Аксиомы Цермело-Френкеля. Их, по современным правилам, следует излагать на языке формальной логики - то есть формулами, понятными лишь посвященным. Сначала о "наивной" теории множеств. Две "аксиомы" входят в нее: 1. (аксиома объемности): если два множества содержат одни и те же элементы, то они совпадают; 2. (аксиома свертывания): если A(x) - высказывание об x, не ссылающееся на X, то существует множество X, содержащее те и только те x, для которых справедливо A. Отсюда можно логически вывести, что x содержится в x тогда и только тогда, когда x не содержится в x. Аксиому свертывания необходимо ограничить - она ведет к антиномиям. Первым это сделал Эрнст Цермело (1908). Его система такова. Z1. Аксиома объемности 1. Z2. Аксиома пары: существует множество-пара {x,y}. Z3. Аксиома суммы: существует объединение множества множеств; Z4. Аксиома степени: существует множество подмножеств данного множества; Z5. Аксиома выделения: существует подмножество, состоящее из тех элементов x, для которых справедливо высказывание A(x). Z6. Аксиома бесконечности: существует бесконечное множество. Z7. Аксиома выбора (см. ниже). К этим аксиомам Цермело Френкель добавил еще одну. Сложную:) : ZF8. Аксиома подстановки: cуществует множество X, состоящее из таких x, для которых существует у из множества Y, такое, что справедливо высказывание A(x,y). А говоря проще, $$ \exists Х \forall x (x \in X \iff \exists y (y \in Y \land x=\iota tA(t,y))) $$ Для современной математики эта система достаточна. Роль искусителя отводится аксиоме выбора Z7. Она, наглядно, утверждает, что в каждом избирательном округе можно выбрать по одному депутату и составить из них Думу. Это да, если округов конечное множество. Хотя и трудно. Ну, если счетное, - поморщившись, согласимся. А если, скажем, континуум? Никакая избирательная комиссия ведь не управится. Вот и выходит чистая вера в Того, кто придет и выберет - сделает то, что смертные сделать конструктивно в принципе не могут. Могут только поверить. Курт Гедель (1939) доказал, что аксиому выбора нельзя опровергнуть на основании остальных аксиом ZF. Поль Коэн (1963) доказал, что аксиому выбора нельзя также и вывести из остальных аксиом ZF. Quod errate demonstrandum. Знаете, что это означает, вавилоняне? Объявлять веру излишней - это "назло кондуктору пешком пойду" :) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Bark на 11/02/04 в 20:27:04 Модели плоскости Лобачевского. Модель Пуанкаре. 1. Назовем "плоскостью Лобачевского" П полуплоскость обычной евклидовой плоскости - без граничной прямой l. 2. Назовем "прямыми" в П полуокружности с центрами на l, а также полупрямые, перпендикулярные к l. Все. Выполняются все аксиомы и постулаты Евклида, кроме Пятого: если дана "прямая" и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести бесконечное множество "прямых", не пересекающихся с данной "прямой" - это совершенно очевидно. "Крайние прямые" - касающиеся данной в "бесконечно удаленных точках" на l - это "параллельные". Их всегда две. Модель Бельтрами. Здесь в качестве П берется круг (без граничной окружности l); "прямые" - это дуги окружностей, пересекающихся с l перпендикулярно, а также диаметры l. Результат тот же;) Кстати сказать, мне было жаль, что замкнутая - таким же, как мне нравится думать, образом - модель Арты исчезла в новой редакции ЧКА:) Таков, в конечном счете, итог более чем двухтысячелетних усилий. До этого с легкостью додумался бы и сам Евклид - если бы понимал свои аксиомы и постулаты так, как мы их понимаем сейчас. Теорема Гильберта и псевдосфера. В третьих, можно пробовать реализовать планиметрию Лобачевского как геометрию на поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны в евклидовом трехмерном пространстве - отрезками "прямых" будут служить геодезические, то есть кривые минимальной длины, соединяющие две заданные точки. Примером такой поверхности служит псевдосфера - но она имеет "особую кривую" - негладкое ребро. Как доказал Гильберт, плоскость Лобачевского не может быть вся целиком реализована как гладкая поверхность в R_3. Не удержусь еще от удовольствия рассказать, что такое псевдосфера. Но предварительно - о кривой, называемой "трактриса". На прямолинейном Берегу моря стоит Человек. И держит на Поводке Щенка:) В начальный момент Поводок (нерастяжимый, что немаловажно) натянут перпендикулярно к Берегу. Потом Человек бредет вдоль Берега - и тащит за собой Щенка. Тот упиравется всеми четырьмя лапами - и оставляет на песке След. Это и есть трактриса - от латинского корня "тащить". Точнее - ее половинка; нужно приставить другую, которая получилась бы, если бы (без "бычества" мне не обойтись;) ) Человек пошел бы в противоположном направлении. Теперь вращаем трактрису вокруг Берега. Она опишет поверхность вращения, имеющую вид двух воронок, составленных своими раструбами. Это и есть псевдосфера. Самое ее интересное свойство: если на ней вырезать "заплату", то эту заплату можно будет приложить к любому другому участку псевдосферы - и она приляжет всеми своими точками. Таким же свойством обладают сфера и плоскость; только для сферы и плоскости оно очевидно, а для псевдосферы - не очень:) Это и есть свойство постоянства гауссовой кривизны - положительной для сферы, нулевой для плоскости и отрицательной для псевдосферы. Но сфера и плоскость везде гладкие, а на псевдосфере - острое ребро. Как объяснил Гильберт, здесь никуда не денешься:) Трактрису впервые исследовал Лейбниц. Только он, конечно, собак не мучил, а возил по столу свои серебряные часы на цепочке: "horologio portatili suae thecae argentae", по его собственным словам. В книге Э. Хайрера, С.Нерсетта и Г.Ваннера "Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи" (Мир 1990) на странице 13 воспроизведен оригинальный чертеж Лейбница - показывающий, как основоположники решали подобные задачи. Задача Бюффона. Вот что непонятно никому - и более всего самим математикам. Какое-то мистическое единство, связывающее различные объекты и факты самым неожиданным образом. Какое, казалось бы, дело влекомым по столу карманным часам Лейбница до количества параллельных? Сам Лейбниц ничего такого не подозревал - просто поставил и решил интересную и трудную задачу. Показал язык коллегам:) Это уже потом, после Гаусса, появилась псевдосфера, и еще потом стало понятно, что неевклидовы планиметрии можно рассматривать как метрические геометрии на поверхностях (а не на плоскости). Вот другой пример единства мира, которое постигается математикой, но совершенно непонятно вне ее - да и внутри, правду сказать, тоже. На дощатый пол бросается игла, длина которой равна ширине половицы. Какова вероятность того, что игла пересечет щель между половицами? Ответ: 2/Pi, где Pi - отношение длины окружности к ее диаметру. В общем, достаточно простая задача на вычисление "геометрической вероятности", но все же - причем здесь окружность? Сам Бюффон развекался, бросая настоящую иглу на настоящий пол и, таким образом, приближенно вычисляя Pi. Бросал он долго:) Пример, близкий мне лично. Две замечательные теоремы теории функций - теорема Громмера: J. Grommer, Ganze transzendente Functionen mit lauter reelen Nullstellen, J. Reine Angew. Math. 144 (1914) Ю.C. Барковский, В.И. Юдович, Спектральные свойства одного класса задач на собственные значения, Матем. сб. 114 (156), 3 и теорема Шенберга-Айссена-Уитни-Эдрея: I.J. Shoenberg, M. Aissen, A.M. Whitney On the generating functions of totally positive sequences, J. Anal. Math. Jerusalem, 1952-1953, 2 A. Edrei, On the generating functions of totally positive sequences, J. Anal. Math. Jerusalem, 1952-1953, 2 Ю.С. Барковский, Осцилляционная спектральная задача на прямой, Изв. вузов, Северо-Кавказский регион. сер. Естеств. науки, 2004, cпецвыпуск - эти две теоремы двойственны друг другу совершенно прекрасным и совершенно необъяснимым образом. Притом внутри математики они относятся к областям, непосредственно не пересекающимся. Но они встретились в своих применениях - как раз там, где мои охотничьи угодья:) Скромно скажу, что сама возможность такого их применения есть в некотором роде открытие 8) PostScriptum Модели Пуанкаре и Бельтрами начали самостоятельную жизнь и очень пришлись по вкусу современной математике - из-за своеобразия группы SL_2 своих движений. Навскидку: В.И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Наука 1978) - гл.I, пар. 5 "Стационарное уравнение Шредингера" (!) П.Д. Лакс, Р.C. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций (Мир 1979) - пар. 4. "Оператор Лапласа-Бельтрами для модулярной группы" Итак, геометрия Лобачевского (планиметрия, по крайней мере) прекрасно служит математике и сейчас - но уже вне какой-либо непосредственной связи с геометрией физического пространства. Ностальгически вспоминаю, как я писал (не для себя:) ) дипломную работу "Об изгибаниях поверхностей в пространстве Лобачевского". Теперь об этом можно рассказать:) Научный руководитель, ныне покойный проф. К.К. Мокрищев после защиты заговорщически шепнул мне: "Я слушал ее, а думал о Вас":) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Mithrilian на 11/02/04 в 21:06:16 Робяты, а вы между собой или для пользы нас-гуманитариев тоже? А то мне хорошо, у меня математик рядом сидит, объясняет, что, вот в аксиомах, приведенных Барком "точка Б между точками А и С..." - это такое определение термина "между" а вовсе не "а что это с Барком вдруг, а как же треугольники" (моя рефлекторная реакция). Кстати, Барк, а зачем тебе в пятой аксиоме Пеано ноль понадобился? Ведь третья аксиома его исключает, нет? Владимир вон плечами пожал... :P |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Bark на 11/02/04 в 21:48:02 Мит, с нулем - это я просмотрел. Дело в том, что в первоначальной системе Пеано была 1; но потом договорились начинать с нуля. Я уже исправил, спасибо. Между - подразумевается принадлежность одной прямой. Мне казалось, что в такой форме это будет, в общем, понятно и нематематикам. Все-таки, если зашла речь об аксиомах, то вот они какие:) Виноват в том, что, не ответив участникам дискуссии, пою о своем. Но к завтрашнему дню постараюсь ответить. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Продолжая занудствовать Прислано пользователем V.A.Gonsky на 11/03/04 в 10:22:58 on 11/02/04 в 19:47:50, Bark wrote:
Поправка: если непротиворечива арифметика действительных чисел, а не просто арифметика. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Продолжая занудствовать Прислано пользователем Vladimir на 11/03/04 в 11:37:39 on 11/03/04 в 10:22:58, V.A.Gonsky wrote:
Непротиворечивость действительных чисел выводится из непротиворечивости натуральных. См., например, Фихтенгольца, если мне Память не изменяет:) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 11/03/04 в 11:45:17 В самом деле? Ну что ж, тогда поправка снимается. :) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Vladimir на 11/03/04 в 13:30:31 on 11/02/04 в 19:34:10, Bark wrote:
Барк, ну сам посуди: для уравнений Навье-Стокса в R3 вообще не доказана единственность решения, то есть нельзя применять никакие теоремы, на второй лекции по уравнениям в частных производных:) Как после этого можно всерьез исследовать отдельные особенности решений в прекрасном далеке? Т.е., понятно как - с точки зрения физики дела, но по математике-то все плохо и проблематично. Quote:
Это так, согласен. Если брать ту же задачу потери устойчивости, то лобовой счет ИМНО - худшее из возможных решений, 99.9% сил придется тратить на то, чтобы неизбежные недостатки алгоритма не разрушили систему раньше "правильного" срока (или схемы защиты от отих помех не забили реальную потерю устойчивости;) ) Quote:
Ну, этих я бы вообще предложил оставить без сладкого:) Помнится, кто-то из физиков-теоретиков указывал, что померить удельное сопротивление медной проволоки в тысячу раз проще и быстрее, чем его вычислить - но ведь приходится ведь:) Quote:
Удачи! ;D |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Ответы Прислано пользователем Bark на 11/03/04 в 15:35:57 Ответы собеседникам и оппонентам - в первую очередь г-ну V.A.Gonsky. (Предварительно хочу поблагодарить Ольгу Чигиринскую, которая в своем ЖЖ дала подробные разъяснения о происхождении и роли христианских догматов. Бенедикт, я составил тебе пространный ответ еще позавчера - о позиции Пуанкаре и об эмпирическом происхождении математических понятий, - но он был совершенно изуродован перекодировщиком. Я постараюсь его восстановить, потому что там речь о вещах, которые мне кажутся глубокомысленными). ________________________ Bark (to V.A. Gonsky): вы действительно считаете, что 'новый "интуитивно очевидный" метод тансфинитной индукции' действительно нов и действительно очевиден? V.A.Gonsky: Имелось в виду, что он новый относительно той системы аксиом, в которой теорему нельзя доказать, т.е. системы Пеано. Теперь понял и согласился - в части новизны. V.A.Gonsky: Словосочетание "интуитивно очевиден" имеет в нашем контексте несколько другой смысл, чем в обычном словоупотреблении. То есть "очевиден" только интуитивно, хотя это, в некотором роде, тавтология. Если я правильно понял, трансфинитную индукцию можно постичь только посредством интуиции? Имеет ли эта интуиция отношение к интуиционизму? Мне кажется, что вопрос о сущности и роли интуиции в математике очень труден. Нужно разграничить собственно математику, как структуру, и математическое творчество - в широком смысле, как постижение этой структуры человеческим разумом. Книги, которые у меня под рукой, говорят мне, что и сейчас сосуществуют различные точки зрения на этот счет. V.A.Gonsky: Кроме "проверить" и "поверить" существует и третья альтернатива - постулировать. Ведь, по сути дела, математика именно этим и занимается, она постулирует законы некоторого мира (а ля платоновский мир идеальных сущностей, постижимых интеллектом). Затем встает вопрос, работают ли эти законы, будучи применены к законам мира реального. Сплошь и рядом оказывается, что да, и совершенно неважно, что мы можем и не найти в реальном мире точного соответствия какой-нибудь абстрактной математической идее, вроде мнимого числа. 1. Мне кажется, "постулировать" - значительно ближе к "поверить", чем к "проверить", если речь идет об областях математики, уже не связанных непосредственно с реальным миром? 2. Конечно, никто не говорит о том, что математический мир "точечно" отображается на реальный; хотя, если говорить о мнимой единице, то вот Вам точное соответствие: поворот вала на 90 градусов. Так же точно, как обычной единице можно сопоставить продольное перемещение этого вала на единицу длины. Интересно в этом соответствии другое. Математика берет нечто от эмпирического опыта. Потом обрабатывает это нечто внутри себя, своими средствами - ни разу не оглянувшись на предметную область, откуда это "нечто" она поперла. Получается результат - и оказывается, он соответствует реальности. Триада. 1. Пример элементарный, но очень красивый. Задача Джанфранческо ди Тоски ди Фаньяно (даже название очаровывает:) ) - на мой вкус, жемчужина элементарной геометрии. Дан остроугольный треугольник ABC; на его сторонах AB, BC, AC соответственно выбираются точки P,Q,R. Каким должен быть выбор, чтобы треугольник PQR имел минимальный периметр? Природа решает эту задачу непринужденно и подсказывает ответ: следует даже не изготовить, а представить себе модель: ABC из скользких стержней и резиновый треугольник PQR - он сам найдет дорогу:) А как решает эту задачу математик? Вот решение, предложенное Радемахером. Комбинация двух замечательных идей. Сделайте чертеж и получите удовольствие. а) Зеркально отразим точку P в сторонах ВС и AC - получатся точки P' и P". Заметим, что периметр PQR равен длине ломаной P'QRP" - и минимален (при фиксированной P), если Q и R лежат на прямой P'P". (Nota Bene - сработал фундаментальнейший факт евклидовой геометрии - неравенство треугольника; отрезки - суть геодезические). б) Теперь заметим, что угол C в равностороннем треугольнике P'CP" постоянен (равен удвоенному углу С в треугольнике ABC). Поэтому основание P'P" тем короче, чем короче боковая сторона, равная CP. Итог: P - основание высоты. Q и R тогда - тоже. (Nota Bene - сработал другой фундаментальный факт - длина перпендикуляра меньше длин наклонных) Вот соответствие, лично меня оно впечатляет. "Бог землемерит" (Платон). (Кстати, если я и платоник, то стихийный. Какого бога имеет в виду Платон? Не Зевса же? Это монотеистический Бог?) 2. Приведу пример из близкой мне области. Пусть дан некий "одномерный континуум" то есть струна, гибкая линейка, зажатая или шарнирно опертая на концах, свободно висящая цепь или что-то подобное, протяженное от a до b. Пусть этот механический континуум обладает интуитивно понятным свойством: если на него надавить n поперечными точечными силами (пальцами:) ), то число перемен знака у прогиба не превысит n-1 (струна, линейка, цепь именно таковы). Это статическое свойство, оно правдоподобно, но, конечно, в точности не проверяемо. Проверив его для малых n, поверим, что оно выполнено для всех n. Примем его за "аксиому" и начнем исследовать. Исследование оказывается изощренным - привлекаются самые различные средства алгебры, функционального анализа, теории аналитических функций, конструктивной теории функций, определенные разделы теории дифференциальных уравнений; обнаруживаются неожиданные обратные связи с этими областями, а также с теорией вероятностей, со статистикой, даже с теорией игр:) Возникает замечательно красивая математическая теория, которой уже струна и линейка не очень-то и нужны. Но что же они? Оказывается, они должны иметь счетный набор частот собственных колебаний; каждой собственной частоте соответствует только одна форма собственного колебания; и n-е собственное колебание должно иметь в точности n-1 знакоперемену (заметьте, аксиома обращалась к статике, а теорема говорит о динамике). Струна, линейка, цепь именно таковы. Как оценивать это достижение? О струне, линейке, цепи мы ничего нового не узнали - для каждой из них этот факт можно установить, найдя явные решения соответствующих уравнений. Но мы открыли, почему они таковы, открыли внутреннюю их общую природу. Если угодно, приоткрыли промысел Творца в отношении них:) В части же математики получилась элегантная теория (осцилляционных операторов), лежащая на стыке самых различных областей. А раз она внутренне-элегантна, она не должна остаться без приложений. Такая типичная математическая вера. И верно, достижение не остается без награды. Эта теория возникла из задач теории малых колебаний. Но оказалось, что она имеет применения и в других контекстах: к задачам теории бифуркаций, например (первым это сделал В.И. Юдович в работе об ответвлении тейлоровских вихрей от течения Куэтта). А там, в теории бифуркаций, Бог не настаивает, чтобы соответствующие операторы были самосопряжены (как в теории малых колебаний) - они таковыми, как правило, и не являются. И результаты теории осцилляционных операторов (во многом параллельные результатам теории операторов самосопряженных) оказываются тем более ценными. Владимир, Бенедикт: в той совместной работе, которую я цитировал в постинге "Модели", нам удалось обосновать рождение тейлоровских вихрей между разновращающимися цилиндрами - именно с помощью этой теории. И притом развивши саму эту теорию в совершенно неожиданном направлении - вот последнее, каюсь, мне гораздо более интересно, чем конкретно вихри Тейлора. Около пяти лет интенсивной работы и куча идей, с которыми я разбираюсь до сих пор:) Таков мой личный опыт, который, наверное, вместе с влиянием учителя и шефа, и сформировал мои вкусы и взгляды на природу математики и математического творчества. В общем, это, быть может, наивная, но вера в (доброго, хоть и хитрого) математического Бога; не знаю, тождественен ли он Богу Библии. Вавилону и такая вера, как я понимаю, избыточна; но зачем мне от нее отказываться, я не понимаю. V.A.Gonsky: Если говорить о том, _для чего_ используются аксиомы (а я первоначально говорил именно об этом), то в качестве такого примера можно привести специальную теорию относительности. Следствия из аксиом ньютоновской механики (а это, конечно, математическая теория) перестали удовлетворять требуемым критериям точности в тех масштабах, на которых их потребовалось рассматривать, и они были соответствующим образом скорректированы. Мне кажется, здесь кое-что может быть уточнено. Простой пример. Если нас не удовлетворяет уравнение математического маятника, мы корректируем его, добавляя еще одно слагаемое, учитывающее трение - возможно, с очень малым, но ненулевым коэффициентом. Это, действительно, коррекция - внесение поправки. С экспериментальной точки зрения это ведет к количественным - малым, но уточняющим изменениям. Для определения, например, периода колебаний маятника такое усложнение может оказаться излишним. Однако с точки зрения математики модель изменилась качественно. Причем модель маятника без трения сохранияет все права на существование - как и совсем упрощенная линейная модель гармонического осциллятора. В случае с ньютоновой и релятивистской механикой дело обстоит иначе. Насколько я понимаю, побудительной причиной возникновения последней была не недостаточная точность старой теории, а то, что ньютонова (и галилеева) модель Вселенной оказалась в принципе неспособной объяснить некоторые факты физики. И следствием была не дополнительная коррекция каких-то уравнений (как в примере с маятником), а полный пересмотр представлений о пространстве и времени. На уровне, так сказать, натурфилософии. Получилась совсем иная математическая модель, построенная на иных принципах. Однако классическая механика прекрасно сохранилась - и как математическая теория, и как эффективный инструмент познания природы. "Замены" не произошло. Вот я и утверждаю, что в этом особенность математических теорий - они не отменяются как несовершенные или ложные, и не пересматриваются. Пересматривается их роль во взаимодействии с естественными науками, это так. Но сами они обладают своей особой объективной реальностью и развиваются по своим собственным законам. Мне кажется, наивно было бы считать, что это человек их развивает в нужную сторону, поглядывая, что делается в природе и сообразуясь с нею. В какой-то мере это, конечно, так, но не оставляет ощущение, что они, теории, сами подсказывают человеку, куда им хочется развиваться - через интуицию и странное "чувство гармонии". И потом человек обнаруживает, что его вели в правильном направлении :) Он хотел только понять и объяснить, например, по какой причине неразрешимы в радикалах уравнения выше четвертой степени. Частная задача, просто интеллектуальный вызов, который хочется принять. Никакой эмпирики и рационального релятивизма. А получилась теория групп - попробуйте ее отнять у физиков :) Вспоминается отец Кабани из ТББ:) Таким образом, мне понятно и близко мироощущение Шарля Эрмита - который, кстати, был верующим человеком. Пуанкаре (а он был учеником Эрмита, но не разделял его мировоззрения), считал, что неприятие Эрмитом идей Кантора было того же рода, что и недовольство Эру самодеятельностью Аулэ. Кантор, считал Эрмит, спешил создавать свое, вместо того, чтобы исследовать созданное Творцом. А это грех перед Господом. Однако, замечу уже я, время показало, что Кантор был прощен:) |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Два примера ДОГМАТИЗМА в математике Прислано пользователем Bark на 11/03/04 в 15:49:14 Наткнувшись на дискуссию "Догмы и аксиомы", я стал размышлять над нею и рыться в книжках. И обнаружил в "Лекциях о развитии математики в XIX столетии" Феликса Клейна (опубликованы в 1926 посмертно, русский перевод 1937; 1989) два отрывка, которые, на мой взгляд, прекрасно иллюстрируют взаимоотношения между "аксиомами" и "догмами" внутри математики. Точнее, не догмами, а проявлениями догматизма. Не все цитированное относится к существу вопроса; но очерк о Грассмане так хорош, что я не устоял перед искушением процитировать его почти полностью, опустив лишь специальные математические объяснения. Надеюсь, это простят мне посетители Удела и участники дискуссии. Сначала я хотел выделить то, что кажется мне непосредственно относящимся к дискуссии, жирным шрифтом, но потом, когда речь пошла о Гамильтоне и его кватернионах, передумал. _______________________________________ ГРАССМАН А теперь мы обратимся к Грассману, идеи которого заслуживают более подробного изложения. Личность Грассмана и его работы отчетливо предстают перед нами в его "Трудах", изданных в 1894-1911 гг. тремя двойными томами по поручению Лейпцигского научного общества. В третьем томе содержится подробная, написанная Энгелем биография, весьма заслуживающая того, чтобы ее прочитать. Эта статья Энгеля тем более достойна внимания, что она свободна от принятого в секте грассманианцев обычая некритически прославлять своего учителя. Герман Грассман родился в 1809 г. в Штеттине. Он происходил из старинной протестантской пасторской семьи в традиции которой входили и научные, и художественные интересы. Это происхождение Грассмана сыграло в его жизни важную роль. Под постоянным влиянием семейных традиций его тихая, медлительная натура развивалась по собственному пути и по собственным законам. Весьма характерно, что Грассман начал свой научный путь с изучения богословия и филологии, которыми он с 1827 по 1830 занимался в Берлине - отчасти под влиянием Шлейермахера, а в остальном - в порядке самообразования. Лекций по математике Грассман не слушал никогда, но примерно в 1832 г. он начал самостоятельные занятия этой наукой. Только в 1839/40 г., уже после того, как он с 1836 г. был учителем в Штеттине (а еще раньше - в Берлине), Грассман подвергся дополнительному экзамену на звание преподавателя математики, написав работу о приливах и отливах. В 1842 г. он сделался преподавателем Штеттинской гимназии и оставался в этой должности до самой смерти, последовавшей в 1877 г. Таким образом, несмотря на всю оригинальность и значение его трудов, Грассман никогда не преподавал в университете, равно как и вообще, вследствие своеобразного развития его научной деятельности, он как математик в разгар своей жизни не получил настоящего признания. Понятно, что Грассман часто жаловался на эту несправедливость судьбы, и тем не менее, в этом для него крылисьи определенные преимущества, последствия которых можнозаметить как в работах Грассмана, так и в его личности. Мы, работающие в высших учебных заведениях, вырастаем в атмосфере острой конкуренции с людьми, стремящимся к тем же целям,что и мы сами. Мы растем подобно дереву в лесу, которое чтобы иметь возможность выжить и отвоевать себе часть света и воздуха, должно устремляться ввысь,а не вширь. Но кто стоит одиноко, как Грассман, тот может свободно развиваться во все стороны, доводя свою сущность и свои дела до гармонического завершения и образуя из них единое целое. Правда, подобной всесторонности, воплощением которой был Грассман, с неизбежностью бывает присуща и определенная доля дилетантизма - черта, отчетливейшим образом повредившая его работам, написанным в старости. Производит потрясающее впечатление количество и разнообразие вопросов, которыми Грассман занимался и в решение которых он внестворческий вклад. Он был не только отмеченным печатью высшей оригинальности математиком с ярко выраженными философскими интересами, но и физиком теоретического и практического склада, которому мы обязаны великолепными работами в области теории электрического тока, учения о свете, о гласных звуках. Исследования, относящиеся к последней из перечисленных областей, - они велись параллельно с мсследованиями Гельмгольца и высоко им ценились - стали возможны в первую очередь благодаря тончайшему музыкальному слуху Грассмана, проявлявшего к музыке большой интерес и обладавшего исключительной музыкальной одаренностью. Наряду с этим развивались и его филологические наклонности. В частности, Грассман очень интересовался сравнительным языкознанием и сделал здесь много полезного. Эта область знания обязана ему словарем к Ригведе, сборником немецких народных песен, исследованиями о названиях растений в немецком языке и многим другим. При всем том Грассман еще находил время и для деятельнейшего участия в современной ему общественной жизни. Его живейшим образом интересовали политические и социальные вопросы, вопросы церковной жизни. На протяжении многих лет он был редактором газеты; у франкмасонов он считался своим и его возвели в звание мастера ложи; особо деятельный интерес проявлял он к миссионерству в Китае. При виде такого сверхобилия деятельности никто не может удивиться тому, что Грассману хотя бы в чем-то одном все-таки было отказано природой - он был плохим учителем. Правда, и к этой своей профессии он относился со свойственной ему добросовестностью; однако его слишком любезное, скромное и неизменно приветливое обращение с учениками не способствовало тому, чтобы завоевать себе у них уважение. Грассман бывал доволен, если ему удавалось заинтересовать своим предметом нескольких учеников и смирялся с тем, что бестолковоебольшинство забавлялось, не очень оберегая его чувства, - яркий и предостерегающий пример того, что деловые качества преподавателя не всегда идут рука об руку с его научным значением и научной продуктивностью. Обратимся теперь к научным достижениям Грассмана. Они представлены его большим трудом "Ausdehnungslehre" ("Учение о протяженности"), первое издание которого, посвященное одной лишь аффинной геометрии, было опубликовано в 1844 г.; второе издание (1861 г.) излагает ту же самую теорию, но совершенно иным способом и включает в себя также и метрическую геометрию. Обе книги написаны чрезвычайно малодоступным образом и почти невозможной для чтения форме. В первой из них весь материал выводится из самых общих философских понятий без каких бы то нибыло формул. Во второй автор оперирует уже с n координатами, вводит огромное количество новых терминов и алгорифмов. Написана она абсолютно строго и систематично, в евклидовой манере. Чтобы дать представление о ее содержании, я попытаюсь изложить суть этой книги нынешним языком. [skip. Должен сказать, что разработанная Грассманом "внешняя алгебра" является необходимым инструментом в моей собственной научной работе - я интересуюсь спектральными свойствами некоторых специальных классов линейных операторов. Bark] На этом я вынужден закончить мои замечания по поводу результатов Грассмана. Однако прежде, чем окончательно распроститься с ними, я не могу не отдать должное тому странному влиянию, источником которого он был и следы которого чувствуются еще и в наше время. Две вещи, заключенные в характере Грассмана и в его судьбе, делают его - и чем дальше, тем больше - главой некоей школы, или, лучше сказать, секты, погрязшей в обычном для таких ситуаций фанатизме. Первая их них - это его ярко выраженная склонность к своеобразным алгорифмам, к которым посвященный привыкает настолько сильно, что они принимают для него обязательное значение и становятся характерной приметой, тесно сплачивающей адептов. При этом возникает серьезная опасность, что ортодоксальный интерес к корректности принятой манеры выражаться нанесет ущерб тому, что, собственно, и существенно с точки зрения математики - энергичному исследованию проблемы. [Однако, с другой стороны, я всегда считал, что для успешности такого исследования важно соблюдать определенную "методологическую чистоту" - "Следи как ступаешь, в дом Божий идя". Bark] Избежать этой опасности удавалось далеко не всегда. И, во вторых, немаловажную роль играет то обстоятельство, что Грассман действительно не получил при жизни признания, которого заслуживал, и что его приверженцывидят в нем мученика, которого для того, чтобы восстановить его значение, надо окружить ореолом. Именно этим и объясняется, что они стремятся к необычному выбору терминов и вычислительных приемов, дабы наперед освободить себя и своего учителя, которому они задним числом хотят снискать почет и славу, от всего обыкновенного и таким образом уйти от сравнения и конкуренции... _____________________________________________ ГАМИЛЬТОН Все эти атрибуты убежденного сектантства проявляются и у кватернионистов, учеников Гамильтона, к исследованиям которого по данной тематикемы сейчас и перейдем. Нечего и говорить, что грассманианцы и кватернионисты ведут друг с другом ожесточенную борьбу, причем обе эти школы в свою очередь распадаются на дико враждующие группировки. Вильям Роуан Гамильтон родился в 1805 г. в Дублине. Как и Сальмон, он вышел из Тринити-колледжа, который блестяще окончил в ранней молодости. Уже в 1827 г. он получил почетную и видную должность директора обсерватории в Денсинке близ Дублина со званием королевского астронома Ирландии. Пост этот он сохранял до конца своей жизни (1865 г.). Гамильтон обладал необычайной по блеску, многогранной одаренностью, замечательнейшим образом проявившейся уже в ранние его годы. В десятилетнем возрасте он наизусть знал Гомера, начал изучать арабский язык и санскрит; уже через несколько лет он знал тринадцать языков, которыми владел в совершенстве. При этом он имел столь же сильно развитые художественные наклонности; до самых поздних лет он был весьма плодовитым поэтом и в течение всей жизни находился в дружеских отношениях с Вордсвортом. Тот, кто хотел бы поближе познакомиться с личностью Гамильтона и с историей его развития, с удовольствием прочтет толстую трехтомную биографию, опубликованную в 1882-1889 г. Р.П. Грейвзом. Однако, будучи написана нематематиком, она более посвящена Гамильтоку как человеку, нежели как ученому. О конце жизненного пути Гамильтона в ней нет никаких подробностей. Как мне рассказывали в Дублине, в свои последние годы он вел себя странно, чтобы не сказать безумно; видимо, его слишком рано развившийся ум быстро перенапрягся и исчерпал себя раньше, чем об этом можно было бы подумать судя по его возрасту. Творчество Гамильтона обладает характерной чертой - всюду в его работах рассыпаны новые, остроумные наметки, которые затем теряются среди подробностей, так и не приводя ни к какому полному, завершенному результату. [skip, математические детали. Bark] C этого времени Гамильтон все с бОльшим интересом занимается вопросом о том, возможно ли - путем введения каких-либо новых комплексных чисел - перенести на случай пространства, то есть на случай нашего обычного R3, оказавшуюся такой полезной геометрическую интерпретацию (на плоскости) действий над числами вида x+iy. Его неустанные усилия в конце концов привели его в 1843 г. к открытию кватернионов - специально устроенных четырехчленных чисел, исследованию и распространению которых он с этого момента полностью посвятил всего себя. Теория этиих чисел изложена им в следующих двух обстоятельных трудах: [skip, ссылки] Очень скоро в математическом Дублине интерес ккватернионам стал превалировать над всем остальным; по ним был установлен специальный экзамен, и без их знания немыслимо было окончание колледжа. Сам Гамильтон сделал их чем-то вроде ортодоксальной части своего математического кредо и подгонял под них все свои геометрические и прочие интересы тем сильнее, чем больше к концу жизни становился односторонним и омрачался под действием алкоголя его ум. Как я уже отмечал, вокруг Гамильтона сложилась школа, которая в своей жесткости и нетерпимости превзошла даже своего учителя. Она ничего не могла вызвать, кроме противодействия, и потому кватернионы - например, в Германии - встречали упорноесопротивление со стороны математиков, пока они все-таки кружным путем, через физику, не проникли в видевекторного анализа, необходимого в первую очередь в динамике. И если теперь я расскажу о кватернионах - как я их уяснил себе с течением времени - несколько более подробно, то я буду придерживаться при этом привычных нам идей и буду сознавать, что я не только становлюсь на точку зрения, резко противоположную позиции гамильтонианцев, учитель которых придал своему открытию совсем другой внешний облик, но что с точки зрения этой партии я и сейчас не имею права называть кватернионами то, о чем я собираюсь говорить... Однако я слишком часто убеждался в тщетности попыток добиться здесь какого-либо взаимопонимания, чтобы принимать в расчет эти возражения. [skip, математические разъяснения. Клейн, в частности, отмечает сходство, и одновременно различие, между "внешними произведениями" Грассмана и "векторным произведением" Гамильтона. Bark] Легкость и изящество, с которыми получаются здесь глубочайшие по своему содержанию теоремы, действительно поразительны. Этим и объясняется восхищение кватернионистов своей системой, восхищение, которое отвергало все остальное и, как уже отмечалось, вскоре вышло за пределы разумного настолько, что стало наносить ущерб не только математике в целом, но и самой теории кватернионов. Такому развитию событий способствовал и доведенный до совершенства, с благоговейным почитанием возделанный формализм... Конечной целью явилось - и остается поныне - построение теорий функций кватернионов, от которой ждали совершенно новых, необычайных по своему охвату открытий общематематического значения. Чтобы содействовать достижению этой цели, не очень определенной, но принятой с верой в нее, в 1885 г. был даже основан "Всемирный союз в поддержку кватернионов"! Независимо даже от того, что всегда более правильно скептически относиться к такого рода культивированию и насаждению какого-либо одного научного направления, теперь уже можно с определенностью утверждать, что предприятие это должно считаться потерпевшим крушение или, во всяком случае, бесплодным... Однако, упрямо следуя намеченным путем, кватернионисты упустили из виду более глубокие проблемы, представлявшие для науки действительный интерес. Так, из-за своей предвзятости они не понялитого простого факта, что, кинув на сложившуюся ситуацию взгляд сверху, они приобрели бы отчетливое представление относительно границ области, где применение их теории является плодотворным, и что вместе с этими ограничениями они получили бы и четкие указания относительно ведущего к успеху пути. Этим более глубоким осознанием создавшегося положения вещей мы обязаны Кэли... |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем Бенедикт на 11/14/04 в 14:51:40 Барк, прекрасные очерки! Только, наверное, действительно стоило бы выделить то, что, на твой взгляд, имеет отношение к дискуссии. Мне связь не очень понятна. Ты имеешь в виду, что школы Грассмана и Гамильтона абсолютизировали идеи своих основоположников, и это пошло во вред математике? Так, по-моему, этой констатацией Клейн льет воду как раз на вавилонскую мельницу.:) Теперь - о якобы внеэмпирической природе математических понятий. В частности, пустого множества и бесконечности. Конечно, верить в нее можно. Но совершенно необязательно. Я вижу в понятии пустого множества абстрактное выражение вполне конкретного опыта: отсутствия в наших ощущениях чего-то, о чем мы думаем. Например, я думаю о собаках, представляю их себе, но, осматривая свою комнату, я не вижу ничего похожего на собаку, а вижу что-то другое, и делаю вывод, что множество собак, находящихся в моей комнате, пусто. Аналогично, понятие бесконечности изначально, вероятно, попросту выражало нашу неспособность пересчитать что-то очень многочисленное или измерить что-то очень большое по сравнению с нами и отсутствие необходимости в этом. Это подтверждается и историей философии: мировой океан, первооснова всех вещей в теории Фалеса, еще близкой к мифологии, у его ученика Анаксимандра превратился в бесконечность (апейрон). Так и все абстрактные понятия, на мой взгляд, соответствуют лишь определенным аспектам нашего опыта в отрыве от других, и не более. И в языке и науке укореняются в первую очередь те из них, которые приносят не только эстетическое удовлетворение, при всей его важности и ценности, но и практическую пользу. 2V.A.Gonsky: Quote:
В.А., так с тем же успехом можно сказать, что понятия, скажем, о недопустимости причинения вреда своим из садистских побуждений у всех одинаковые, только круг "своих" для дикаря ограничивается собственным родом, а для европейца (в этом отношении) включает все живые существа. А в машинах Тьюринга я не разбираюсь, но вполне возможно, что многие утверждения можно доказать и запуском, и применением вспомогательной программы. |
||||||||||||||||
|
Заголовок: Re: Догма и аксиома Прислано пользователем V.A.Gonsky на 11/15/04 в 11:53:37 on 11/14/04 в 14:51:40, Бенедикт wrote:
Свои-чужие - это граница, проводимая конвенционально. С точки зрения нашей этической системы, мы понимаем, что это другое положение границы, и готтентот со своей точки зрения понимает, что у нас граница другая. Что же касается счета индейцев, то они используют для него другую полугруппу, не N, а {0(?),1,2,бесконечность}. Это не отменяет существования натуральных чисел в "платоновском" смысле, просто европейцы их открыли, а индейцы - нет. Важно то, что НЧ принципиально постижимы - а это, несомненно, так. 2 Bark Извините, не заметил вопросов, приношу извинения за задержку. Quote:
Имелось в виду, что трансфинитная индукция является обобщением неких интуитивных представлений о допустимых методах доказательств. И их, в такой ситуации, приходится находить каждый раз новые, раз и навсегда существующих методов допустимого доказательства не существует, в том смысле, что недостаточно - по т.Гёделя. К интуиционизму эта точка зрения отношения не имеет. Quote:
Есть все же разница между поверить и постулировать. Постулирование самим своим актом создает некую реальность (идеальную). Когда священник говорит: "засим объявляю вас мужем и женой", он не высказывает предположение, ни доказывает. Он именно, что утверждает новый порядок вещей. Математик тоже постулирует: да будут комплексные числа. Делитесь и умножайтесь. :) Вопрос о том, обязаны ли соответствовать математические конструкции чему-либо в физической реальности, как мне кажется, не имеет особого значения. Математики могут обращаться с математическими объектами непосредственно по правилам математической реальности, не прибегая к аналогиям. Это как правила игры в шахматы не обязаны соответствовать каким-то физическим законам. Ну а если математический результат еще и физическую теорию порождает - так это здорово, но может и не породить, в общем-то. Quote:
Ну так о том и речь. Математическая модель же базируется на аксиомах, и если предыдущая система аксиом нас не удовлетворяла, сиречь, выводы из нее не соответствовали наблюдаемым физическим явлениям, то начинали искать другую. Конечно, сами по себе евклидова геометрия, ньютонова механика, максвеллова электродинамика и прочие физические теории, будучи "уволены" с должности "общей теории всего", преспокойненько себе продолжают существование в качестве стройных и, в определенном смысле, пригодных для описания физического мира теорий. Ну а будет ли найдена исчерпывающая математическая теория физического мира (и тем самым, устанавливающая изоморфизм некоторой области математики с реальностью) - вопрос интересный, и совершенно не понятно, будет ли на него дан положительный ответ. |
||||||||||||||||
|
Удел Могултая YaBB © 2000-2001, Xnull. All Rights Reserved. |